Algorithm 计算无向线段平均方向的算法

我有一组二维无向线段，由两个端点组成。从统计上看，他们中的大多数人或多或少都处在同一个方向上

我想计算的是段集的平均方向（例如，如果该集为全局N/S，它将返回~0°等）。请注意，我不关心返回哪个实际方向（0°或180°也可以）

在[0..180°范围内夹紧每个段的方向并取平均值不起作用（例如，两个段，一个为1°，另一个为-1°：第二个将夹紧到179°，平均值错误，此处90°应为0°）

我还考虑将“标准化线段”端点分为两组，并计算由两组中点组成的线段的方向，但这对于任务来说似乎有点复杂。所谓“标准化线段”，我指的是在单位圆上有端点，在原点上有中点的线段

有已知的算法/公式吗？

有求角度平均值的算法/公式（在全圆周范围内）

对于您的情况，似乎可以计算方向向量的余弦平均值（因为Cos（-alpha）=Cos（alpha）），并得到ArcCos（范围为0..Pi）

---

可能角度应限制在（0..Pi）或（-Pi/2..Pi/2）范围内，以避免歧义。

元注：此答案计算给定直线的“中值”。 MBo计算给定行的“平均值”

---

让我们用下面的方式将问题形式化。 我们得到了一组线，我们想要找到一条线p，使得p和所有给定线之间的角度之和是可能的最小值。 这里，两条直线之间的角度是它们交点处的最小角度，如果它们平行或重合，则为0。 因此，两条直线之间的角度始终为0到90度

为了简化推理，请翻译线条，使它们都通过原点。 显然，这不会影响答案

---

为了解决这个问题，让我们研究上述总和的导数。 假设我们有一个回答行p。 设x线与p顺时针成0-90度角，y线与p逆时针成0-90度角（x+y=n，给出的线总数）

现在，顺时针旋转p一个小角度α。 答案将减少x*α，增加y*α。 因此，如果x>y，答案将减少，如果x 有两种情况下，数量x和y发生变化

线p与给定的一条线重合

线q与给定线之一正交

在圆上任意两个这样的连续点之间，我们和的导数将是常数x-y。 因此，最小值将位于“感兴趣的角度”之一：与某些给定直线平行或正交。 这导致了O（n^2）算法：对于每个O（n）个感兴趣的角度，只需计算O（n）中的和，然后选择给出最小和的角度

---

这可以进一步加速到O（n logn）

生成O（n）中的2n个感兴趣角

按O（n log n）对它们进行排序

计算O（n）中第一个这样的角度的答案，以及x和y

沿圆圈移动，保持当前答案和值x和y。 在每个O（n）步骤中，可以在O（1）中进行计算

下面是一个

O（n）

解决方案，该解决方案还可以容纳每个分段的可选重量

我们通过其与X轴（a）的角度和权重（w）对每个分段进行建模.此时分段方向并不重要，任何180°模的值都可以。方法是对每个分段进行循环，并跟踪到目前为止计算的平均方向；并使用更接近平均值本身的180模方向调整该平均值

伪代码（所有角度以度为单位）：

aa=0
ww=0
对于分段中的a、w：
//计算[-180°…+180°范围内角度之间的增量[
da=a-aa
如果da<-180：
da+=360
如果da>=180：
da-=360
//可选方向交换，[-90°…+90°内的增量[
如果da<-90：
da+=180
如果da>=90：
da-=180
//以下公式也确保aa=模数180
//当ww=0时（第一次迭代）。
aa+=da*w/（w+ww）
ww+=w
//夹紧结果为[0°…+360°][
如果aa>=360：
aa-=360
如果aa<0：
aa+=360
//将最终结果aa夹紧至[0..+180°[（可选步骤）
如果aa>180：
aa-=180

我没有证明结果与迭代顺序无关，但乍一看，算法应该是这样的

---

该算法对输入迭代顺序的依赖性 对于行为良好的输入数据，无论迭代顺序如何，该算法都非常稳定

然而，一旦输入数据没有明确的主方向，该算法的结果将在难以预测的混沌模式下强烈依赖于迭代顺序

数值模拟表明，对于标准偏差小于20°（中值附近）的随机方向，算法似乎总是稳定的。当标准偏差大于20°时，数值不稳定性开始出现，结果强烈依赖于迭代顺序（20°和30°之间的差异可能小到可以忽略，超过30°的差异开始出现）

我没有精确地计算出准确的混沌/稳定标准偏差截止值，因此将此20°值作为初始猜测。读者可以练习一个精确的数学解

下面是数值模拟的结果（对于0到45°的每个标准偏差，运行1000次算法）

MeanAngle = ArcTan2(Sum{i=1..n}(Sin(Alpha[i])), Sum{i}(Cos(Alpha[i])))

MeanAngleWithoutDir = ArcCos(1/n * Sum{i=1..n}(Cos(Alpha[i])))

aa = 0
ww = 0
for a, w in segments:
    // Compute delta between angles in range [-180°..+180°[
    da = a - aa
    if da < -180:
       da += 360
    if da >= 180:
       da -= 360
    // Optional direction swap, delta in [-90°..+90°[
    if da < -90:
       da += 180
    if da >= 90:
       da -= 180
    // The following formula also make sure aa = a mod 180
    // when ww = 0 (first iteration).
    aa += da * w / (w + ww)
    ww += w
    // Clamp result to [0°..+360°[
    if aa >= 360:
       aa -= 360
    if aa < 0:
       aa += 360
// Clamp final result aa to [0..+180°[ (optional step)
if aa > 180:
    aa -= 180

double dvx=0,dvy=0;
for(const auto &direction:directions)
{
    dvx+=2*direction.dx*direction.dy;
    dvy+=squared(directions.dx)-squared(directions.dy);
}
return std::atan2(dvx,dvy)/2;//or may be +pi/2