Algorithm 具有两个条件的最短路径问题

假设我有一个有向图G（V，E，w，c），其中w是每条边的正权重，c是每条边的成本为1或0。我需要找到一个算法，对于给定的源垂直u，找到从u到V中有成本的每条垂直的最短路径≤ k（其中k≥1）

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我试图修改贝尔曼·福特的算法，但似乎找不到解决办法。

让我重申一下我对这个问题的理解

对于成本不超过

k

的所有顶点，您需要从顶点

u

到达的最小权重路径

你需要综合各种想法才能达到目的

假设

路由节点

对象具有以下属性：

成本

，

权重

，

节点

，

最后路由节点

和自动递增的

id

。这是一个链接列表，将我们带回原始节点，让我们重建路由。我们通过

成本

，然后

重量

，然后

id

对它们进行比较

我们有一个哈希/字典/任何你想叫它的东西，它将节点映射到到达该节点的最低权重

RouteToNode

对象。称之为

bestRoute

我们有一个

todo

列表，其中包含我们尚未处理的

RouteToNode

s，这是一个始终返回最小

RouteToNode

的优先级队列。注意，它总是从最低成本返回到最高成本

我们从没有任何内容的

bestRoute

开始，一个

todo

队列只有一个

RouteToNode

，即：

{
    id: 0,
    cost: 0,
    weight: 0,
    node: u,
    lastRouteToNode: null
}

现在我们执行以下伪代码：

while todo is not empty:
    thisRouteToNode = todo.pop()
    if thisRouteToNode.node not in bestRoute or
      thisRouteToNode.weight < bestRoute[thisRouteToNode.node].weight:
        bestRoute[thisRouteToNode.node] = thisRouteToNode
        for edge adjacent to thisRouteToNode.node:
            construct nextRouteToNode by adding edge
            if nextRouteToNode.cost <= k:
                todo.push(nextRouteToNode)

当todo不为空时：
thisRouteToNode=todo.pop（）
如果thisRouteToNode.node不在最佳路由中，或
thisRouteToNode.weight<最佳路由[thisRouteToNode.node]。重量：
bestRoute[thisRouteToNode.node]=thisRouteToNode
对于与thisRouteToNode.node相邻的边：
通过添加边构造nextRouteToNode
如果是nextRouteToNode.cost，我认为你不能轻易让贝尔曼福特解决这个问题。我认为修改Dijkstra会更容易，特别是因为你只对一个源的距离感兴趣。@SergGr我认为这不能用贪婪的方法解决，因为只有找到一个顶点的最小路径，我们才能知道它是否在k.Epitheoritis的边界内，如果你仔细观察@btilly-answer，你可能会注意到这正是修改过的Dijkstra，我看不出它不起作用的原因（如果实施得当，我认为答案不是很清楚）。你有什么反例吗？主要的想法是，在做Dijkstra时，你可以安全地提前切断那些打破
总成本>=k
限制的分支。您仍然可能需要检查更多的候选路径，因为较低的权重并不能保证更好，因为我们可能没有足够的成本来完成任务。但实现起来并不难。@SergGr这就是我的意思：考虑让边A->B的成本为10，权重为20，另一个A->B的成本为12，权重为5，B->C的成本为7，权重为1，另一个B->C的成本为5，权重为50。我们不应该保证A->B（12,5）在最短路径树中，尽管只访问B是最好的。但这只有在访问C之后才能理解。这里的时间完整性是多少？@Epitheoritis32最坏的情况是
O（kelog（kee））
。这表示您以不断降低的成本反复访问节点，并将其所有边缘都放入待办事项列表中的情况。也就是说，在实践中，我希望您更接近
O（E log（E））
。