Algorithm 覆盖n个点的最小圆数

当n个点位于一条直线上时，覆盖所有n个点所需的半径为r的最小圆数是多少

我知道有人问了一个类似的问题 在这里之前。

我的尝试：我试图在线性时间内解决它， 我想到了这个算法：

将求解第一个点的第一个圆放置到位

通过检查这两个点之间的距离是否小于2*r，求解最小圈数中的第二个点。并在所有n点的过程中继续。 我认为这是贪婪算法，但它是最优的和线性的吗

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我能想到的最简单的方法是，将你的点放在一个数组中

迭代每个点，加上它与前一点之间的距离，直到累计距离大于2r

添加到全局计数器1。重置距离，重复

在伪代码中：

count = 1
last_point = point_list[0]
distance = 0
for(point in point_list)
   distance += norm(point - last_point)
   if(distance >= 2r)
     count++
     distance = 0
   last_point = point

证明 基本情况： 它适用于n=1，这很简单

感应情况： 假设它适用于n到k种情况

假设线中引入了一个新点

情况1，该点位于最后一个计算圆的内部。然后在循环的下一次迭代中，if语句中的条件不满足，计数不增加，算法返回正确的答案

情况2，该点位于最后一个计算圆的内部之外。 然后，由于对其他k元素的覆盖是最小的，因此不可能重新排列圆以覆盖新的点。因此，我们必须引入一个新的循环

在这种情况下，如果满足if的条件，则计数增加1。我们再次返回正确的数字

我们已经证明了归纳的情况

冗长的证明 您必须接受latex符号，因为堆栈溢出不会格式化latex

假设我们有一组点$p$。假设$d=max（| p|i-p|j |）$，其中$p|i，p|j\以p$表示。如果$d<2r$，则半径r的某些磁盘$C$的$P\C$子集

给定一个新点$q\notin p$，如果$max（| | q-p | | | | | | | |）<2r$，其中$p\在p$中，则$\存在一个磁盘$D$，这样${q}\cup\子集D$

否则，如果$max（| | q-p | |）>2r$，则不存在这样的磁盘，否则磁盘中会有2个点的距离大于2r，这是荒谬的

这是引理1

假设我们有一组这样的集合$S$，即S中的$S\意味着S={x | | | | x-y |=2r$

由于点位于a上，根据定义，$\exists x_0$和$\vec{d}$（$\vec{d}$为单位向量），因此点可以相对于其到$x_0$的距离排序，WLOG假设$x_0$是$S$中的一个点，这样$\vec{d}\cdot（x-x_0）\geq 0$，其中$x\在S$中

这意味着，对于s\中的每个集合$s\u i \存在D\u i$，因此通过构造，$s\u i\子集D\u i$和$D\u i\cap D\u j=\empty$if$i\neq j$。并且磁盘${D_i}$排列有序

设s$中的$s{max}\为集合，使得所有这些$x$的$\vec{d}\cdot（x{max}-x_0）\geq\vec{d}\cdot（x_i-x_0）$中的$\x{max}\在s_max$中，x\在s$中。或者在简单的英语中，$s_max$是包含距离$x_0$最远的点的集合

假设现在将一个新点$q$添加到直线中，使其到$x_0$的距离大于$x_max$

根据引理1，要么圆的总数保持不变，要么增加1，如果$max（| q-x | | | |）>=2r$，则只增加1，其中$x\在s|{max}$

这是引理2

然后参考上一节中描述的算法。 当连续点序列的跨度小于$2r$时，$\D$存在一个包含这些点的磁盘（根据前面的参数）。如果在序列中找到一个新点，使其到最远点的距离超过$2r$，则需要一个额外的圆（同样由引理1）

引理2假设，要知道是否需要一个新的圆，我们只需要关注最后一组点，前提是我们按顺序访问了这些点（以及这些点集）。如果一个新点在最后一个集合中最远点的距离内小于2r，则不需要新的圆，否则需要一个新的圆（引理1），因此我们关注这个新点（及其相关集合）

我们会一直这样做，直到访问完所有点为止

我们已经成功地证明了该算法是最小的

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（我们不需要关心圆在哪里：^））

我认为我不能在线性时间上做，而是O（n*logn）

因为它们在同一条线上，所以我会将其中一个设置为参考点（

0

），并根据它们到参考点的距离将它们添加到一个数组中。现在二维位置转换为一维

然后对它们进行排序（

O（n*logn）

）。然后通过将圆的最左侧位置放在当前点的顶部来迭代这些点

例如，在排序后，点的位置是

-3-2,0,1,2,10

，也就是说

r=1

第一个圆圈从

-3到-1

，第二个圆圈从

0到2

，最后一个圆圈从

10到12

。因此将使用3个圆

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请注意，此算法不假定数字和距离为整数。为了简单起见，我使用了整数。

你的问题与前面的问题有什么不同？@PresidentJamesK.Polk这些点被放置在一条直线上。如果这些点不是按顺序排序的，并且你希望最终结果看起来像一组重叠的圆（O（n））和间隙（O（n），那么你似乎不可能在线性时间内解决这个问题)当您从未排序的输入构建组时，您需要以某种方式跟踪这些组。伊恩：有人告诉过你这在线性时间内是可能的吗