Algorithm 证明如果g（n）是o（f（n）），那么f（n）+g（n）是θ（f（n））

因此，我正在努力证明或反驳上述问题。我觉得这是真的，但我不知道如何表现出来

同样，问题是如果gn是of n，那么fn+gn是tafn

注意，这是一个小o，不是一个大o

到目前为止，我已经成功地证明：

gn=ofn->gn 然后gn+fngn+fn=Ofn

然而，为了展示大欧米茄，我不知道该怎么做

我这样做对吗

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编辑：每个人都提供了很大的帮助，但我只能记下一个。谢谢。

一种选择是，当n趋于无穷大时，取fn+gn/fn的极限。如果这收敛到一个有限的非零值，那么fn+gn=Θfn

假设fn对于足够大的n为非零，则上述比率在极限内为

fn+gn/fn

=fn/fn+gn/fn

=1+gn/fn

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因此，当n趋于无穷大时，取极限，上述表达式收敛到1，因为比率为零。这就是gn为ofn的含义。

一种选择是当n趋于无穷大时取fn+gn/fn的极限。如果这收敛到一个有限的非零值，那么fn+gn=Θfn

假设fn对于足够大的n为非零，则上述比率在极限内为

fn+gn/fn

=fn/fn+gn/fn

=1+gn/fn

因此，当n变为无穷大时，上述表达式收敛到1，因为比率变为零，这就是gn变为ofn的意思。

到目前为止，这很好

对于下一步，回想一下，在最好的情况下，到目前为止0是好的

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对于下一步，回想一下，在最好的情况下，0在开始之前，让我们首先说明小-o和大θ符号的含义：

Little-o表示法

正式地说，gn=ofn或gn∈ ofn持有 足够大的n意味着对于每个正常数ε 存在一个常数N，使得

|g(n)| ≤ ε*|f(n)|, for all n > N                                 (+)

从

大Θ符号

hn=Θfn表示存在正常数k_1，k_2 N，使得k|u 1·| fn |和k|u 2·| fn |是上界 和| hn |上的下界，分别为n>n，即

从

给定：gn∈ ofn

因此，在我们的例子中，对于每一个ε>0，我们可以找到一些常数N，例如+，对于我们的函数gn和fn。因此，对于n>n，我们有

我们看到，这是一个定义非常大的-Θ表示法，如++中所示，常数k_1=1，k_2=2和hn=gn+fn。因此

---

我们已经证明了gn∈ ofn意味着gn+fn∈ Θfn.

在开始之前，让我们先说明小o和大θ符号的含义：

Little-o表示法

正式地说，gn=ofn或gn∈ ofn持有 足够大的n意味着对于每个正常数ε 存在一个常数N，使得

|g(n)| ≤ ε*|f(n)|, for all n > N                                 (+)

从

大Θ符号

hn=Θfn表示存在正常数k_1，k_2 N，使得k|u 1·| fn |和k|u 2·| fn |是上界 和| hn |上的下界，分别为n>n，即

从

给定：gn∈ ofn

因此，在我们的例子中，对于每一个ε>0，我们可以找到一些常数N，例如+，对于我们的函数gn和fn。因此，对于n>n，我们有

我们看到，这是一个定义非常大的-Θ表示法，如++中所示，常数k_1=1，k_2=2和hn=gn+fn。因此

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我们已经证明了gn∈ ofn意味着gn+fn∈ 是的，我考虑考虑增加另一个C*FN，因为我们本质上想要的形式是C1*FN当n趋于无穷大时，如果gn=ofn，那么lim-gn/fn=0。这就解释了为什么第二个术语消失了，有道理。谢谢你的帮助！哦，我非常喜欢这个方法…我猜这是可行的，因为你们知道fn和gn都是非零的，因为知道gn是of？哦，我们怎么保证它们会接近一个极限？我们只知道一个比另一个大，实际上我们只需要fn是非零的，因为它是分母中唯一的一个。至于gn/fn在极限中趋向于零的原因，实际上可以使用极限的形式定义来说明&epsilon-当n趋于无穷大时，如果gn=ofn，那么lim gn/fn=0。这就解释了为什么第二个术语消失了，有道理。谢谢你的帮助！谢谢你的深入回答。一起做的每件事都很有帮助@想成为一个乐于帮助的人。谢谢你的深入回答。一起做的每件事都很有帮助@我很乐意帮忙。

|g(n)| ≤ ε*|f(n)|, for some ε>0, for all n>N

Choose a constant ε < 1 (recall, the above holds for all ε > 0), 
with accompanied constant N. 
Then the following holds for all n>N

    ε(|g(n)| + |f(n)|) ≤ 2|f(n)| ≤ 2(|g(n)| + |f(n)|) ≤ 4*|f(n)|    (*)

|f(n)| ≤ |g(n)| + |f(n)| ≤ 2*|f(n)|, n>N                            (**) 

(**) => g(n) + f(n) is in Θ(f(n))