Algorithm 最小化加权和

我最近遇到了这个问题。 假设x轴上有n个点，x[0]，x[1]。。x[n-1]。 设与这些点中的每个点相关的权重为w[0]，w[1]。。w[n-1]。 从0到n-1之间的任何点开始，目标是覆盖所有点，以使w[i]*d[i]之和最小化，其中d[i]是从起点到第i个点所覆盖的距离

示例：
假设这些点是：1 5 10 20 40
假设权重为：1 2 10 50 13
如果我选择从第10点开始，然后移动到第20点，然后移动到第5点，然后移动到第40点，最后移动到第1点，那么加权和将变成10*0+50*（10）+2*（10+15）+13*（10+15+35）+1*（10+15+35+39）

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我尝试用贪婪的方法来解决这个问题，从关联权重最大的点开始，移动到第二个最大权重点，依此类推。但该算法不起作用。有人能告诉我解决这个问题必须采取的方法吗

也许你应该详细说明算法“不起作用”的含义。你所描述的贪婪方法的基本思想对我来说似乎是可行的。你的意思是贪婪的方法不一定会找到最优的解决方案吗？正如评论中所指出的，这可能是一个NP完全问题——尽管可以肯定的是，人们必须对其进行进一步分析：一些动态规划，以及一些用于距离计算的前缀和，也可能导致多项式时间解

我很快用Java实现了贪婪的解决方案（希望我能正确理解一切…）

您描述的贪婪方法给出了

For [3, 4, 2, 1, 0] sum 929.0

最好的解决办法是

For [3, 2, 4, 1, 0] sum 849.0 

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我通过检查索引的所有排列（当然，这对于较大的

n

是不可行的）

有一个非常重要的事实导致了多项式时间算法：

由于这些点位于某些轴上，因此它们生成路径图，这意味着对于每3个顶点

v1、v2、v3

，如果

v2

介于

v1

和

v3

之间，然后

v1

和

v3

之间的距离等于

v1

和

v2

之间的距离加上

v2

和

v3

之间的距离。因此，例如，如果我们从

v1

开始，obj。先到

v2

再到

v3

的路径的函数值将始终小于先到

v3

再回到

v2

的路径值，因为：

第一条路径的值=w[2]*D（v1，v2）+w[3]*（D（v1，v2）+D（v2，v3））

第二条路径的值=w[3]*D（v1，v3）+w[2]*（（v1，v3）+D（v3，v2））=w[3]*D（v1，v2）+w[3]*D（v2，v3）+w[2]*（D（v1，v2）+2*D（v3，v2））

如果我们从第二个路径中减去第一个路径值，剩下的是<代码> w（2）*2 *D（v3，v2）< /代码>，等于或大于0，除非考虑到负权重。

所有这一切都意味着，如果我们位于某个点，我们应该考虑的选项总是只有两个：前往左侧最近的未访问点或右侧最近的未访问点

这非常重要，因为它留给我们的是

2^n

可能的路径，而不是

n可能的路径（如旅行推销员问题）

在路径图上求解TSP/最小权重哈密顿路径可以使用动态规划在多项式时间内完成，您应该应用完全相同的方法，但修改计算目标函数的方式

由于您不知道起始顶点，因此必须运行此算法
n
时间，每次都从不同的顶点开始，这意味着运行时间将乘以
n
假设您已完成一个解决方案的一部分，并已行驶了距离D。如果你再走一段距离x，看到一个重量为w的点，你就要付出（D+x）w的代价。如果你再往前走一段距离y，看到一个重量为v的点，它会花费你（D+x+y）v。。如果将所有这些相加，则有一个分量取决于距离D:xw+xv+yv+之后的路径，还有一个分量取决于距离D和需要携带的点的权重之和：D（v+w+…）。但是，依赖于距离D的分量不依赖于除需要访问的点的权重之和之外的任何其他因素，因此它是固定的，从这个意义上讲，它是相同的，不管你走完距离D后走的是什么路

访问我们在访问时经过的点总是有意义的，因此最佳路径将从单个点开始（可能在要访问的点集的边缘，也可能在中心），然后将其扩展到访问点的间隔，然后将其扩展到访问所有点。为了预先计算访问间隔以外所有点的相对成本，我们只需要知道当前位置和间隔的大小，而不是到目前为止行驶的距离

因此，一种昂贵但多项式动态规划方法的状态是当前位置（必须是其中一个点）、当前位置左侧第一个未访问点（如果有）的位置以及当前点右侧第一个未访问点（如果有）的位置。我们最多应该考虑两个点：下一个点：当前点的右边点和当前点的左边点。我们可以通过查看剩余点数较少的州的预计算成本，计算出这两种方案的成本，并将最佳结果存储为该点的最佳可能成本。我们可以在假设达到当前点时D=0的情况下计算这些成本。当我们查找存储成本时，它们也存储在该假设下（但在其当前点D=0，而不是我们的当前点），但我们知道权重之和
For [3, 4, 2, 1, 0] sum 929.0

For [3, 2, 4, 1, 0] sum 849.0