Algorithm 确定图的传递自反闭包的时间复杂性

考虑一个任意有向图

G

（可以包含自循环）和

A

其各自的邻接矩阵。 在a

O（n^4）

时间中，是否有一种方法（算法）来计算图

G

的传递自反闭包对应的邻接矩阵？有没有办法在

O（log（n）n^3）

中计算它？ 传递自反闭包的定义如下：

Gt（V，E）是G的传递自反闭包，仅当u=V或G中是从u到V的路径时，G：（u，V）在E中

这就是我们所知道的。如果存在从一个顶点到另一个顶点的有向路径，则需要n×n矩阵为1，否则为0；或者，任何其他允许在O（1）时间内进行查询的数据结构都可能同样满足您的目的

对于有向图，标准的解决方案是在O（n3）时间内运行一些算法，或者在O（n2+nm）时间内从所有节点运行一些算法，其中m是边的数目。因为您不需要最短路径，所以来自所有节点的路径与BFS一样好

另一种解决方案是在首先用1s填充对角线之后，对图的邻接矩阵A进行O（logn）矩阵乘法，以找到矩阵幂An。它的运行时间将取决于矩阵乘法算法的运行时间。渐近地，在O（n2.373）时间内运行，因此这给出了O（n2.373 logn）时间内的解。传递闭包的矩阵乘法算法被证明是渐近最优的，但我们不知道矩阵乘法的真正复杂性是什么

在大多数实际应用中，这些算法可以通过首先找到图的可达性，然后仅仅解决组件之间的可达性问题来改进。但是，最坏情况下的运行时间将是相同的，因为可能有多达n个组件

对于某些类型的有向图，有一些特例算法，例如在O（n logn）时间内解决有向图的可达性问题，或者在特定的一类平面图上在O（n）时间内运行

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对于无向图，a可以在O（mα（n））时间内构建，其中α是非常缓慢增长的。

除了@Kaya3提到的，还计算了O中DAG的传递闭包(|