Algorithm 多少次；2“；发生在从0到n的所有数字中

查找从0到n的所有数字中“2”出现的次数

示例：

n

=112

answer

=22

numbers : 2 , 12 , 20-29 , 32 ...  92 , 102 ,  112  

我想出了以下方法：

设

k

=n的位数

f（k）

=从

0

到

10^k-1的两个数

f（1）=1//2

f（2）=10*f（1）+10^（2-1）//12,20-29,32。。。92

f（3）=10*f（2）+10^（3-1）

等等

twos（int n，int k）
{
如果（n3*（低于100）+100+twos（12）
其他的
返回msb*（f（k））+Two（余数）
}  

我的方法正确吗？

如果是，有没有比这更快的解决方案

编辑：

对于这些测试用例，我的方法似乎是正确的，即模拟

结果
：

第1栏：n，第2栏：暴力，第3栏：我的方法

2.11

511

91 19 19

868277277

778333593359

55576 32718 32718

293911 242093 242093

10179297 7091858 7091858

59939789 51975959 51975959

设
f（k）
为数字2的出现次数，从0到
10^k-1
（即最多为k位数字）。
请注意，当数字从k-1增加到k时，每一个新的前导数字都有f（k-1）出现，加上前导数字本身的10^（k-1）出现：

f(k) = 10*f(k-1) + 10^(k-1)

（这正是你的公式）

解决此重复问题可提供：

f(k) = k * 10^(k-1)

例如：

f(1) = 1
f(2) = 20
f(3) = 300
f(4) = 4000
...

实际上有一种不同的方法得到这个公式。考虑所有的k个数字（其中丢失的数字被零替换）。数字的数量是10^k，每个数字中有k个数字，因此我们总共有
k*10^k
个数字。现在，每个可能的数字出现的次数相同，即
k*10^k/10=k*10^（k-1）

--编辑--

以下Java解决方案使用了上述公式，并解决了任意n in O（logn）时间的问题：

假设数字由数字组成。我们想看看所有数字的正确性，你用哑循环检查了吗？循环给出运行时错误，n=10^7，这里n可以一直到10^18。你总是可以将解决方案的结果与蛮力实现的结果进行比较。它不能在heory证明你的解决方案对每一个输入都是正确的，但它可以给你一些信心…@aseem：这个想法是用小数字来测试它…例如：它对所有的结果都正确吗？只要你坚持基数2，答案对所有的n都是精确的0；p这大部分我是正确的，但当n不是的幂时失败10@aseem：当然失败了，因为f（k）定义为计算0..10^k-1范围内的事件。你必须做额外的工作来处理任何数字。好吧，这就是任务。我不知道这是如何回答这个问题的。@KarolyHorvath:我不确定我是否理解。OP问他的方法是否正确，以及如何提高计算效率。我回答了这两个问题，我想k、 在某些情况下给出了错误的答案。顺便说一句，谢谢你的解释。
f(1) = 1
f(2) = 20
f(3) = 300
f(4) = 4000
...

// Counts occurrences of digit 2 in numbers less than n
public static int count(int n) {
  int count = 0;
  int factor = 1;
  int pos = 0;
  while (true) {
    int m = n / factor;
    if (m == 0) //Past last digit
      break;
    int d = m % 10;      

    count += d * pos * factor / 10; 

    if (d == 2)
      count += n % factor;
    else if (d > 2) {
      count += factor; 
    }

    factor = 10 * factor;
    pos++;
  }

  return count;
}  

f1(n) = (n+8) / 10

f1(1) = 0
f1(2) = 1
f1(12) = 2
f1(21) = 2
f1(22) = 3 

f2(n) = 10 * f1(n/10)  # almost right

f2(10) = 0
f2(20) = 10 * f1(2) = 10  # wrong
f2(25) = 10 * f1(2) = 10  # wrong
f2(29) = 10 * f1(2) = 10  
f2(30) = 10 * f1(3) = 10

f2(n) = 10*f1(n/10) - 9 + n1 # if n2==2

f2(n) = 10*f1(n/10) - 9 + n%10 # if n2==2

f3(n) = 100*f1(n/100) # if n3 != 2
f3(n) = 100*f1(n/100) - 99 + n%100 # if n3 == 2

f(n) = f1(n) + f2(n) + f3(n) + ...

public static int count2(int n) {
    int res = (n+8) / 10;
    int divider = 10;
    while (n>= 2*divider){
        int na = n / divider;
        res = res + divider * ((na+8) /10);
        if (na%10==2)
             res = res - divider + 1 + n % divider;
        divider = divider * 10;
    }
    return res;
}