Algorithm 利用递推关系计算程序的时间复杂度

这个程序计算斐波那契数。我想用递推关系找出它的时间复杂度

Fib(n)
if n<=1
  return n
else
  x= Fib(n-1)
  y= Fib(n-2)
  return x+y

---

您需要考虑对函数进行了多少次调用。 每个调用生成2，因此它生成一个二叉树：

n

（n-1）-----（n-2）

（n-2）——（n-3）——（n-3）——（n-4）

等等

当您第一次达到1时，请考虑树的级别，忽略下面的所有内容。 这发生在级别n/2上（因为每个级别的最低数量是最右边的，并且总是减少2）。 很明显，n/2之前的每个级别上的节点数总是前一级别上的两倍

因此，节点总数为1+2+2^2+…+2^（n/2）=2^（n/2+1）-1=O（2^（n/2））

这意味着时间复杂度至少是指数的

您可能可以更精确地计算它，但对于所有实际目的来说，这应该足以避免这种实现。

关于递归关系需要注意的是，它与斐波那契递归本身是相同的。这意味着无论你在计算什么斐波那契数，你都在做

c

工作时间单位。您可以从计算的前几个步骤中看到它。

c

开始像斐波那契数一样增长

基本上你的复发归结为O（Fib（n））。斐波那契数在

n

中是指数的，所以你要做指数功

更好的方法是记住其中一个数字。像这样：

Fib(n):
    if n <= 2:
        return 1,0
    else:
        x,y = Fib(n-1)
        return x+y,x

---

给定的递推关系为

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + c   ------ 1
T(n-1)= T(n-2) + T(n-3) + c ------ 2

1-2 -> T(n) = 2T(n-1) - T(n-3) ----- 3
T(n) - 2T(n-1) + T(n-3) = 0 ----- 4

4的特征方程是x3-2x2+1=0---5

解方程5

解决方案是

x=1

，

x=（1+√5） /2

和

x=（1−√5） /2

总的解决办法是， Tn=a（1+√5） /2）n+b（（1-√5） /2）n+c。1n

对于Tn=a（（1+√5） /2）n+b（（1-√5） /2）n+c

让我们假设T（0）=0，从方程1我们得到T（1）=c和T（2）=2c

有,， T（0）=a+b+c=0----6

T（1）=a（1+√5） /2）+b（（1-√5） /2）+c=c

对于a（（1+√5） /2）+b（（1-√5） /2）=0---7

T（2）=a（1+√5） /2）2+b（（1-√5） /2）2+c=2c

对于a（（1+√5） /2）2+b（（1-√5） /2）2=c---8

求解6、7和8，得到a、b和c的值

总的解决办法是

Tn=a（1+√5） /2）n+b（（1-√5） /2）n+c

自（1+√5） /2<2

---

T（n）=O（2n）。这个术语“复杂性”是什么？“这不是我所知道的数学概念……”Killercam在想，我不确定我会称之为什么。也许我刚刚忘记了“复杂性”这个词的用法。无论如何，它将是n阶（或O（n））。它不会像写的那样是线性的。如前所述，它将是O（Fib（n）），它是指数的。您需要记住以前的返回值以使其线性化。简单地说，当你计算x时，你需要考虑y，因为它是x的一部分。如果你不这样做，你就做了太多的工作。但是有可能用递推方程证明这个程序的时间复杂度是指数级的吗？

x = 1, y = 0
for i from 3 to n:
    x,y = x+y,x

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + c   ------ 1
T(n-1)= T(n-2) + T(n-3) + c ------ 2

1-2 -> T(n) = 2T(n-1) - T(n-3) ----- 3
T(n) - 2T(n-1) + T(n-3) = 0 ----- 4