Algorithm 径向扫描的实现

在二维平面上给定了N个点，我需要找出一个圆的最小半径，它至少包含M个点

我使用的方法是：-

我将对圆的半径进行二进制搜索

从给定集合中选取任意点p。我们使用P作为“旋转轴”（按照惯例，逆时针方向）旋转半径为R的圆C，即在旋转过程中保持C随时与P接触。当C旋转时，我们维护一个计数器来计算C所包含的点数

请注意，此计数器仅在某个点Q进入（或离开）圆C的区域时更改。我们的目标是提出一种算法，每当其他点Q出现时，该计数器将递增（或递减）≠ P进入（或离开）C区域

（旋转）圆C的状态可以用一个参数θ来描述，其中（r，θ）是圆C中心的极坐标，如果我们选择p作为极坐标系的固定点。在这个系统中，旋转C意味着增加θ

对于其他点Q(≠ P） 实际上，我们可以计算θ的范围，对于这个范围，C覆盖Q。更正式地说，每当（iff）θ时，C包围Q∈[α，β]

因此，到目前为止，最初的问题已简化为：

θ的最佳值是多少，它位于最多的[α，β]区间内

简化后的问题可以用相当标准的O（NlogN）算法来解决。[3]这个简化后的问题必须解决N次（每个点p一次），因此时间复杂度为O（N2logN）

我能够了解如何执行此步骤：

对于每个点Q(≠ P） 实际上，我们可以计算θ的范围，对于这个范围，C覆盖Q。更正式地说，每当（iff）θ时，C包围Q∈[α,β]. 因此，到目前为止，最初的问题已简化为： [α，β]区间数最多的θ的最佳值是多少？

---

您能建议如何实现该部分吗。

当Q进入或离开圆C（半径为R）时：

• p和C的中心之间的距离是R（因为它总是R）；及

• Q和C的中心之间的距离也是R

所以，如果你画一个半径为R的圆围绕Q，半径为R的圆围绕p。当Q进入或离开时，它们相交的两点就是C的中心

---

设±θ为C中心与线PQ之间的角度。如果你把它画出来，你可以很容易地看到| PQ |/2R=cos（θ），这使得你很容易找到你要找的角度。

你自己试过什么吗？你好，先生，即使在纸和笔上，我也不知道如何得到θ。为什么这句话“更正式地说，当（iff）θ时，C包含Q？”∈[α，β]”是真的。