Algorithm 球面上Voronoi图的计算算法？

我正在寻找一个简单的（如果存在的话）算法来找到球面上一组点的Voronoi图。源代码将是伟大的。我是一个Delphi人（是的，我知道…），但我也吃C代码。

有一个很好的Voronoi图表示例程序（包括Delphi 5/6的源代码）

我认为“球体表面上的点”意味着首先必须将它们重新映射到2D坐标，创建Voronoi图，然后将它们重新映射到球体表面坐标。这两个公式在这里有效吗

还请注意，Voronoi图的拓扑结构将错误（它位于矩形内，并且不会“环绕”），在这里，它可以帮助将所有点从（0,0）-（x，y）复制到（0，-y*2）-（x，0）上方、下方（0，y）-（x，y*2）、左侧（-x，0）-（0，y）和右侧（x，0）-（x*2，y）的相邻区域。我希望你知道我的意思，请随便问：）

这是一篇关于

或者，如果你摸索Fortran（荒凉！），那就有了

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原始链接（死）：

正在开发“球形内核”包，该包允许精确计算此类内容。不幸的是，尚未发布，但可能会在下一版本中发布，因为它们已经发布了

我认为每个点的Voronoi平面都可以使用非欧几里德几何构造。通常是二维平面上的一条线，现在是球体上的一个“大圆”（参见维基百科：）。通过简单地旋转球体，使得分割的大圆是赤道，然后它是另一个半球上的所有点，而不是构建Voronoi平面的点，很容易找到两点之间任何大圆的错边

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这不是完整的答案，但这是我要开始的地方。

如果你的点在一个半球内，你可以做一个从球面坐标到平面坐标的gnomonic投影，然后三角化，因为大圆变成了距离最短的直线。

简言之，试试看。我写道。

注意，球面上的Delaunay三角剖分就是凸包。 因此，您可以计算3D凸包（例如，使用CGAL）

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并从参考资料中引用双引号。

要计算球面上点的Delaunay三角剖分，请计算它们的凸包。如果球体是原点处的单位球体，则镶嵌面法线是输入的Voronoi顶点

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INRIA有一篇关于球面上点的Delaunay三角剖分（DT）的论文：他们在这篇文章中讨论了一个在中的实现

本文介绍了DT算法的各种可用实现

引述该报的话：

一个简单而标准的答案在于计算三维凸包 这是出了名的等价点

对于凸壳的计算，本文建议：

在FORTRAN语言中，三维凸面外壳

用FORTRAN语言

CdAL的DC++类具有获得Voronoi图的方法。<／P>

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根据Monique Teillaud（上述论文的作者之一）的说法，在我看来，2012年11月的实现还没有准备好。

这个问题已经有一段时间没有得到回答，但我发现有两篇论文在球体表面实现了（效率O（N lg N），内存O（N））。也许未来的观众会发现这些信息很有用

• Dinis和Mamede在2010年科学与工程Voronoi图国际研讨会上发表的《扫球》。可于
• Zheng等人的“球面Voronoi细分的平面扫描算法”。我不确定该算法是否因第一个算法而出版，但日期为2011年12月13日。可在以下网址免费获取：

目前我自己也在研究这些问题，所以我无法很好地解释。基本思想是，只要正确计算点的边界抛物线，福琼的算法就可以在球体的表面上工作。因为球体的曲面是包裹的，所以也可以使用圆形列表来包含海滩线，而不用担心处理矩形空间边缘的单元。使用该选项，可以从球体的北极点向南扫掠，然后再次向上扫掠，跳转到向海滩线引入新点（向海滩线添加抛物线）或引入单元顶点（从海滩线删除抛物线）的场地

这两篇论文都希望通过线性代数来理解这些概念，而且在开始解释算法本身时，他们都让我不知所措。遗憾的是，两者均未提供源代码。

2016年7月更新： 多亏了许多志愿者（特别是Nikolai Nowaczyk和我），现在有了更健壮/正确的代码来处理Python中球体表面上的Voronoi图。从scipy的

0.18

版本开始，该版本正式以

scipy.spatial.sphereicalvoronoi提供。在官方网站上有一个使用和绘图的工作示例

该算法遵循二次时间复杂度。虽然对数线性是球体表面Voronoi图的理论最佳值，但这是目前我们能够实现的最佳值。如果您想了解更多信息并帮助开发工作，那么与改进Python处理球形Voronoi图和相关数据结构的方式相关的一些未决问题如下：





有关与此Python代码相关的理论/开发/挑战以及相关计算几何工作的进一步背景，您还可以查看Nikolai和I的一些谈话：







原始答复：
实际上，我最近为球体表面上的Voronoi图编写了一些开源Python代码：

用法，阿尔戈
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.colors as colors
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from mpl_toolkits.mplot3d.art3d import Poly3DCollection
import numpy as np
import scipy as sp
import voronoi_utility
#pin down the pseudo random number generator (prng) object to avoid certain pathological generator sets
prng = np.random.RandomState(117) #otherwise, would need to filter the random data to ensure Voronoi diagram is possible
#produce 1000 random points on the unit sphere using the above seed
random_coordinate_array = voronoi_utility.generate_random_array_spherical_generators(1000,1.0,prng)
#produce the Voronoi diagram data
voronoi_instance = voronoi_utility.Voronoi_Sphere_Surface(random_coordinate_array,1.0)
dictionary_voronoi_polygon_vertices = voronoi_instance.voronoi_region_vertices_spherical_surface()
#plot the Voronoi diagram
fig = plt.figure()
fig.set_size_inches(2,2)
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
for generator_index, voronoi_region in dictionary_voronoi_polygon_vertices.iteritems():
   random_color = colors.rgb2hex(sp.rand(3))
   #fill in the Voronoi region (polygon) that contains the generator:
   polygon = Poly3DCollection([voronoi_region],alpha=1.0)
   polygon.set_color(random_color)
   ax.add_collection3d(polygon)
ax.set_xlim(-1,1);ax.set_ylim(-1,1);ax.set_zlim(-1,1);
ax.set_xticks([-1,1]);ax.set_yticks([-1,1]);ax.set_zticks([-1,1]); 
plt.tick_params(axis='both', which='major', labelsize=6)

import math
dictionary_voronoi_polygon_surface_areas = voronoi_instance.voronoi_region_surface_areas_spherical_surface()
theoretical_surface_area_unit_sphere = 4 * math.pi
reconstituted_surface_area_Voronoi_regions = sum(dictionary_voronoi_polygon_surface_areas.itervalues())
percent_area_recovery = round((reconstituted_surface_area_Voronoi_regions / theoretical_surface_area_unit_sphere) * 100., 5)
print percent_area_recovery
97.87551 #that seems reasonable for now