Algorithm 如何在无向图中找到反馈边集

设G=（V，E）为无向图。一组F⊆ 边的E称为a 如果G的每个循环在F中至少有一条边，则设置反馈边。

（a） 假设G是未加权的。设计一个高效的算法来寻找 最小尺寸反馈边集

（b） 假设G是一个边权为正的加权无向图。 设计了一种寻找最小权反馈边集的有效算法

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我的解决方案（需要建议）：

a） 最小大小反馈边集：由于图形未加权，我们可以使用DFS。我们像往常一样从任何顶点开始DFS。当我们遇到一个后边缘时，我们将其插入到一组反馈边缘中。当DFS完成时，集合将成为答案

b） 最小权重反馈边集：因为图是加权的，所以我们可以使用Kruskal。但克鲁斯卡尔通常从重量最小的边缘开始。如果我们可以否定所有的边权重，然后运行Kruskal，每当我们在相同组件的顶点之间得到一条边，我们就可以将它保存在反馈边集中。最后，求反边权重。我建议否定边权重的原因是因为我们需要最小权重反馈集。对于否定权重，Kruskal将从权重最小（实际上最大）的边开始，并将为权重较小的相同组件查找边

有人能判断此解决方案是否正确吗？

您的解决方案A）不起作用，因为您没有提供任何逻辑来决定边缘是否具有“后退”属性

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你的解决方案B）不起作用，因为Kruskal不寻找反馈集，而是寻找最小加权覆盖树。K4图是最小加权树不一定包含反馈边集的一个很好的例子。

这两个问题都是NP完全问题。因此，即使是近似有效（多项式时间）解也不太可能存在(http://en.wikipedia.org/wiki/Feedback_arc_set)

如果您可以在应用程序中放宽对严格最小解大小的要求，则还有其他可用的启发式方法，但它们可能难以相互比较

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请注意，您可以很容易地找到最小（而非最小）解决方案：以任何顺序遍历任何反馈边集的边，如果重新对齐，则立即删除。一次扫描所有边缘就足够了，并使用DFS等执行冗余测试。

是的，您的解决方案是正确的。无向图的最小权反馈边集是最大权生成林的补充。所有跨越林都具有相同的基数，因此在未加权的情况下，任何跨越林（如DFS所发现的）都可以。（验证草图：拟阵。）

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反馈弧集确实是NP难的，但这是无向情况。

要在带正权重的加权有向图中找到最小权重反馈边集：

通过对权重求反，观察其等价于找到最大权重反馈边集。 要找到最大权重反馈边集，请使用Prim或Kruskal算法构建MST。然后取MST的补码

它为什么有效？ 这是基于以下观察结果：

一条边不在任何MST中，当且仅当存在一个循环，该循环中该边相对于该循环中的所有其他边具有最大权重时。 或者，换句话说，一条边在某个MST中当且仅当对于该边所属的每个循环，它不是该循环中所有其他边的最大权重

事实上，假设我们有一个最大权重反馈边集，其中有一条边，存在一个包含该边和另一条具有更大权重的边的循环，那么用该另一条边替换该边将提供更大权重的反馈边集

为了完整性，对观察结果进行证明：

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)假设对于给定边所属的每个循环，该循环中存在一条权重更大的边。如果它不在任何MST中，则将该边添加到MST将导致MST中出现循环。然后从该循环中移除最大权重的边（与给定边不同）将提供具有较小权重的MST（并包含该给定边）。

对于任何反馈边，该图的补码必须是原始图的生成林。这就是说补码图不包含任何循环，这是非常明显的

问题a）：
对于最小大小的反馈边集，这等价于找到最大大小的生成林。因此，我们可以简单地使用DFS来找到图中每个连接组件的生成树，并取其补码。然后我们得到最小尺寸的反馈边。实际上，我认为DFS是没有必要的，只要我们能为每个连接的组件找到一个生成树。
问题b）：

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要找到最小权重反馈边集，这相当于找到最大权重生成林。然后我们可以使用Kruskal算法或Prim算法来找到每个连接组件的最大生成树。然后取补码，我们将得到一个最小权重反馈集。

至于a部分的答案），无向图上的DFS将边分为树边和后边-这是关于DFS的一个非常基本的事实。不过，我对这个问题的回答太快了。当DFS遇到已访问的节点时，确实可以使用DFS检测周期。但是，您将如何选择该周期的哪条边将成为反馈边集的一部分？您可以选择使用DFS并选择指向已访问节点的任何边（而不仅仅是指向祖先的边）。这肯定会给你一个反馈边缘集。但同样，E也是一个反馈边集。你要寻找的是一个最小大小的反馈边集。DFS无法提供逻辑的一个很好的例子是一个由两个循环组成的图，其中一条边是公共的。您的DFS无法标记o