Algorithm 具有不同约束的网络流

考虑一个简单的网络流模型：

G=（V，E）

、源节点

S

、汇节点

T

。对于每条边

E[i]

，其容量为

C[i]

然后，边缘

E[i]

上的流

F[i]

被约束为

C[i]

或

0

，即

F[i]

属于

{0，C[i]}

---

如何计算从

S

到

T

的最大流量？这仍然是一个网络流量问题吗？

嗯，这不再是一个定义良好的流量问题，因为Heuster给出的原因是，给定通过节点连接的两条边（没有其他连接），流量必须为零，除非两个容量相等。大多数通用流算法都会失败，因为它们无法顺序增加流

考虑到这个条件在一般图上的极端限制性，我会回到游戏树上，从水槽向后工作。游戏树的大多数节点都会很快终止，因为不会有流入节点的流的组合与所需的流出完全匹配。通过合理的启发式搜索，您可能会找到合理的搜索顺序并终止树，而无需搜索每个分支

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事实上，您可能可以在开始之前排除大量节点并删除大量边，因为通过某些节点的流几乎是不可能的。

修改后的流问题的决策变量是NP完全的，这可以从以下事实得到证明：对于给定的项w_1，…，w_n和一个和w，只需创建一个源S，通过容量w_i的边S->i连接到每个项目i。然后通过容量为w_i的另一个边缘i->t将每个项目i连接到接收器t。添加容量W的边t->t。如果经过修改，图中的S-t最大流量为W，则存在累积重量为W的项目子集

也就是说，在任何情况下都可能没有有效解决此问题的算法，但对于并非专门设计为困难的实例，您可以尝试问题的公式，并使用通用ILP解算器来找到解决方案

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如果您的容量是由输入大小中的值多项式限定的整数，则可能存在伪多项式算法

与一般算法相同。它将是最小切割的流量。你的约束没有多大变化。顺便说一句，它属于@UmNyobe，你确定吗？让我们考虑一个节点为<代码> {s，m，t}和边>代码> {e1=（s，m），e2=（m，t）}<代码> >图>（e1）＝1＜/c>＞<代码> c（e2）＝2＜/c>。在我看来，所述约束条件下的最大流量是

0

，这绝对不是最小切割。修改后的问题看起来是一个非常深刻和彻底的解释！“突然”的NP完整性让我有点吃惊。@Codor谢谢。这其实并不令人惊讶。通过修改，最小割/最大流二元性消失了，而且，在新的场景中，增加路径的概念没有明显的意义。因此，最大流算法（增量查找增广路径）采用的贪婪局部搜索算法无法应用。从另一个角度来看，经过修改，线性规划的解不再给出整数规划的解，这与最大流情形不同。这是因为额外的约束可能会破坏LP约束矩阵的整体单模性吗？@Codor这有点让我难以理解，我对LP理论知之甚少，无法自信地回答这个问题。我们完全可以用0-1变量来描述修改后的问题，所以从我的理解来看，完全的单模块性足以快速解决问题（因为解决方案是可行多面体的一个角）。我对这个问题也完全“生疏”，但无论如何，感谢你的评论！