Algorithm 利用6k+改进试验分割素性检验/-1规则

我正在学习试用区首要性测试的基础知识，并因此在代码中实现它。可以使用以下许多技巧来提高算法的性能：

1） 仅在平方根（n）以内运行试除法

2） 通过创建一个最大平方根（n）的筛子，然后仅对所创建筛子中的素数运行试除法，以内存换取时间

但是，如果发现

n%6

（n mod 6）的值为

1或5

（使用6k+/-1规则），我没有发现将结果返回为复合结果的想法。在我们的素数确定测试中使用这个规则不会提高它的性能吗？如果是，为什么没有在任何地方提到？若否，原因为何

---

谢谢。

看来你属于初级水平以上的人（那些永远不会想出主意的人）和追求卓越表现的人。因此，对于初学者来说，这个想法有点难以解释，对于非常高级的人来说，这个想法似乎微不足道

它可以将运行时间减少三分之一，或者让您同时测试50%以上的数字。如果除数不太大，你可以做更少的测试来节省更多的钱：假设你测试了一个十亿左右的数字。有一个循环，除数为d=6k-1，需要测试d和d+2=6k+1。所以你只测试d^2≤ p、 你不需要测试（d+2）^2≤ P最坏的情况是，你测试的除数比你需要的多。最好的情况是，您可以保存几千个（d+2）^2的测试≤ p

---

通过观察只有可能的素数≥ 30是30k+1,7,11,13,17,19,23,29，避免30k+5和30k+25

你似乎属于初级水平以上的人（那些永远不会想出主意的人）和追求卓越表现的人。因此，对于初学者来说，这个想法有点难以解释，对于非常高级的人来说，这个想法似乎微不足道

它可以将运行时间减少三分之一，或者让您同时测试50%以上的数字。如果除数不太大，你可以做更少的测试来节省更多的钱：假设你测试了一个十亿左右的数字。有一个循环，除数为d=6k-1，需要测试d和d+2=6k+1。所以你只测试d^2≤ p、 你不需要测试（d+2）^2≤ P最坏的情况是，你测试的除数比你需要的多。最好的情况是，您可以保存几千个（d+2）^2的测试≤ p

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通过观察只有可能的素数≥ 30是30k+1,7,11,13,17,19,23,29，避免30k+5和30k+25

您对测试

n%6

的想法完全等同于测试

n%2

和

n%3

——因此，如果您将后者作为普通试验部门的一部分，则执行前者是多余的

---

（在考虑了2和3之后）一个与之密切相关的想法是只考虑形式为

6k+1

，

6k-1

，的试算因子，正如@gnasher729在其出色的回答中所解释的那样。

您测试

n%6

的想法完全等同于测试

n%2

和

n%3

——因此，如果您将后者作为普通试验部门的一部分，那么做前者是多余的

---

（在考虑了2和3之后）一个密切相关的想法是，只考虑形式为

6k+1

，

6k-1

，正如@gnasher729在他们出色的回答中所解释的那样。这个技巧的工作方式是：将M的乘积变成一堆小素数。然后，当测试一个数字N时，如果（N%M）为0或者有一个与M相同的因子，您可以立即说N是复合的

你用了6，2和3的乘积。在可能的模0，1，2，3，4，5中，只有1和5没有2或3的因子

关于6没有什么特别的，尽管你可以对任何模量做同样的处理，尽管你想让它成为一个小素数的乘积，以最大化复合模量的密度

---

请注意，在进行此检查后（如gnasher所示），您只需测试与M没有共同因子的试用除数。

此技巧的工作方式：将M的乘积表示为一组小素数。然后，当测试一个数字N时，如果（N%M）为0或者有一个与M相同的因子，您可以立即说N是复合的

你用了6，2和3的乘积。在可能的模0，1，2，3，4，5中，只有1和5没有2或3的因子

关于6没有什么特别的，尽管你可以对任何模量做同样的处理，尽管你想让它成为一个小素数的乘积，以最大化复合模量的密度

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请注意，在进行此检查后（如gnasher所示），您只需要测试与M没有共同因子的试用除数。

这里调用的是通用方法。最简单的轮子是专门处理2个，然后只测试奇数：2个轮子。下一个最简单的是2，3轮，你在问题中提到过@gnasher729给出了上述2,3,5轮的编号

从5开始，交替添加2和4，可以生成2,3轮的数字

伪代码：

boolean isPrime(num)

  // Deal with factor 2.
  if (num MOD 2 = 0) then
    return (num = 2)
  endif

  // Deal with factor 3.      
  if (num MOD 3 = 0) then
    return (num = 3)
  endif

  // Factors >= 5.
  limit <-- 1 + sqrt(num)
  trialFactor <-- 5
  step <-- 2
  while (trialFactor < limit) do
    if (num MOD trialFactor = 0)
      // Number not prime
      return false
    endif
    trialFactor <-- trialFactor + step
    step <-- 6 - step
  endwhile

  // Number is prime here.
  return true

end

boolean isPrime（num）
//处理因素2。
如果（num MOD 2=0），则
返回（num=2）
恩迪夫
//处理因素3。
如果（num MOD 3=0），则
返回（num=3）
恩迪夫
//系数>=5。
极限这里调用的是一般方法。最简单的轮子是专门处理2个，然后只测试奇数：2个轮子。下一个最简单的是2，3轮，你在问题中提到过@gnasher729给出了上述2,3,5轮的编号

从5开始，交替添加2和4，可以生成2,3轮的数字

伪代码：

boolean isPrime(num)

  // Deal with factor 2.
  if (num MOD 2 = 0) then
    return (num = 2)
  endif

  // Deal with factor 3.      
  if (num MOD 3 = 0) then
    return (num = 3)
  endif

  // Factors >= 5.
  limit <-- 1 + sqrt(num)
  trialFactor <-- 5
  step <-- 2
  while (trialFactor < limit) do
    if (num MOD trialFactor = 0)
      // Number not prime
      return false
    endif
    trialFactor <-- trialFactor + step
    step <-- 6 - step
  endwhile

  // Number is prime here.
  return true

end

boolean isPrime（num）
//处理因素2。
如果（num MOD 2=0），则
返回