Algorithm 安排数目
假设我们有n个元素，a1，a2，…，an，排列成一个圆圈。也就是说，a2在a1和a3之间，a3在a2和a4之间，an在an-1和a1之间，依此类推 每个元素的值可以为1或0。如果存在值不同的相应ai，则两种安排是不同的。例如，当n=3时，（1，0，0）和（0，1，0）是不同的排列，即使它们在旋转或反射下可能是同构的 因为有n个元素，每个元素可以取两个值，所以排列的总数是2n 问题是： 有多少种排列是可能的，以至于没有两个相邻的元素都具有值1？如果有帮助，只考虑n＞3的情况。 我提出这个问题有几个原因：Algorithm 安排数目,algorithm,math,Algorithm,Math,假设我们有n个元素，a1，a2，…，an，排列成一个圆圈。也就是说，a2在a1和a3之间，a3在a2和a4之间，an在an-1和a1之间，依此类推 每个元素的值可以为1或0。如果存在值不同的相应ai，则两种安排是不同的。例如，当n=3时，（1，0，0）和（0，1，0）是不同的排列，即使它们在旋转或反射下可能是同构的 因为有n个元素，每个元素可以取两个值，所以排列的总数是2n 问题是： 有多少种排列是可能的，以至于没有两个相邻的元素都具有值1？如果有帮助，只考虑n＞3的情况。 我提出这个问题有几个
让我们首先问一个问题“有多少长度为n的0-1序列没有两个连续的1？”让答案为A（n）。我们有A（0）=1（空序列），A（1）=2（“0”和“1”），和A（2）=3（“00”，“01”和“10”，但不是“11”） 为了便于编写递归，我们将a（n）计算为两个数字的和：
B（n），以0结尾的此类序列的数量，和
C（n），以1结尾的序列数 然后B（n）=A（n-1）（取任意长度为n-1的序列，并附加一个0）
C（n）=B（n-1）（因为如果在位置n处有一个1，那么在位置n-1处必须有一个0。）
这就给出了A（n）=B（n）+C（n）=A（n-1）+B（n-1）=A（n-1）+A（n-2）。 现在应该很熟悉了：-） A（n）是简单的斐波那契数Fn+2，其中斐波那契序列由F0=0、F1=1和Fn+2=Fn+1+Fn定义≥ 0.
现在回答你的问题。我们将分别计算a1=0和a1=1的排列数。对于前者，a2…an可以是任何序列（没有连续的1），因此数字是A（n-1）=Fn+1。对于后者，我们必须有a2=0，然后a3…an是没有以0结尾的连续1s的任何序列，即B（n-2）=a（n-3）=Fn-1 所以答案是Fn+1+Fn-1。 事实上，我们可以走得更远。请注意，如果您将答案称为
G（n）=Fn+1+Fn-1，则
G（n+1）=Fn+2+Fn和
G（n+2）=Fn+3+Fn+1，所以即使是G（n）也满足与斐波那契序列相同的递归性！[事实上，任何类似斐波那契序列的线性组合都会满足相同的递归，所以这并不奇怪。]因此，计算答案的另一种方法是：
G（2）=3
G（3）=4
对于n，G（n）=G（n-1）+G（n-2）≥四, 现在还可以使用Fn=（αn-βn）/（α-β）（其中α和β为（1±）√5） /2，x2-x-1的根=0），以获得
G（n）=（1+√5） /2）n+（（1）-√5） /2）n.
[您可以忽略第二项，因为对于大n，它非常接近0，事实上G（n）是最接近（（1）的整数+√5） /2）n适用于所有n≥2.]
我决定编写一个小脚本来试用：
#!/usr/bin/python
import sys
# thx google
bstr_pos = lambda n: n>0 and bstr_pos(n>>1)+str(n&1) or ""
def arrangements(n):
count = 0
for v in range(0, pow(2,n)-1):
bin = bstr_pos(v).rjust(n, '0')
if not ( bin.find("11")!=-1 or ( bin[0]=='1' and bin[-1]=='1' ) ):
count += 1
print bin
print "Total = " + str(count)
arrangements(int(sys.argv[1]))
请原谅上面代码中的not（）。将我的天真脚本加入其中。缓存部分结果的机会很多，但对于小n来说，它的运行速度足够快，所以我不必费心
def arcCombinations(n, lastDigitMustBeZero):
"""Takes the length of the remaining arc of the circle, and computes
the number of legal combinations.
The last digit may be restricted to 0 (because the first digit is a 1)"""
if n == 1:
if lastDigitMustBeZero:
return 1 # only legal answer is 0
else:
return 2 # could be 1 or 0.
elif n == 2:
if lastDigitMustBeZero:
return 2 # could be 00 or 10
else:
return 3 # could be 10, 01 or 00
else:
# Could be a 1, in which case next item is a zero.
return (
arcCombinations(n-2, lastDigitMustBeZero) # If it starts 10
+ arcCombinations(n-1, lastDigitMustBeZero) # If it starts 0
)
def circleCombinations(n):
"""Computes the number of legal combinations for a given circle size."""
# Handle case where it starts with 0 or with 1.
total = (
arcCombinations(n-1,True) # Number of combinations where first digit is a 1.
+
arcCombinations(n-1,False) # Number of combinations where first digit is a 0.
)
return total
print circleCombinations(13)
这个问题很类似于。由于循环约束，我找不到一个明显的方法来应用Zeckendorf定理，但Fibonacci数在这个问题中显然非常普遍。只是澄清一下，圆圈进入定义相邻的含义——元素n与元素1相邻，但不考虑相同位模式的旋转是相同的。是吗？用手检查2，3，4。我认为关于构造B（n）和C（n）的论点通过从长度为1的两种情况中进行推导来强制证明端点的正确性。参见“对于后者，我们必须有a2=0，然后a3…an是没有以0结尾的连续1的任何序列”这就是我认为序列不能在1开始和结束的地方。对“理论”（另一个答案）的很强的确认，因为f（6）＝8和f（4）＝3，所以G（5）＝f（6）+f（4）确实是11：-）