Algorithm “的算法”；“拿起数字游戏”；

我正在努力寻找解决方案，但我对此一无所知

RobotA和RobotB选择N个数字的排列作为开始。罗博塔先选，他们轮流选。每个回合，机器人只能从排列中选择剩余的任何一个数字。当剩余的数字形成递增序列时，游戏结束。选择最后一个回合的机器人（之后序列增加）赢得游戏

假设双方都发挥最佳状态，谁会赢

示例1:

示例2:

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有没有已知的算法可以解决这个问题？请给我任何建议或想法，在哪里看将是真正的感谢

看起来是个问题

我想这项任务有更快的解决方案。我会想。 但我可以给你一个O（N！*N^2）复杂度的解决方案

首先，请注意，从N置换中选取的编号等效于以下内容：

从N-置换中选取数字。让我们看看它是X号

使用规则重新分配号码：

1=1

2=2

X-1=X-1

没什么，它不见了

X+1=X

N=N-1

得到N-1个数的排列

例如：

156423

选择2

1 5 6 4 3

重新分配

1 4 5 3 2

让我们用这个作为移动，而不是拾取。也很容易看出游戏是等价的，玩家A在这个游戏中赢得一些排列，当且仅当它在原版中获胜

让我们给N个数的所有排列，N-1个数。。。2个数字

定义F（x）->{0；1}（其中x是置换码）是当前值为1的函数

玩家获胜，如果当前玩家失败，则为0。很容易看到F（12..K-1k）=0

F（x）=1，如果至少存在将x变换为y的移动，且F（y）=0

F（x）=0，如果对于将x变换为y的任何移动，F（y）=1

因此，您可以使用递归和记忆来计算：

Boolean F(X)
{
    Let K be length of permutation with code X.
    if you already compute F for argument X return previously calculated result;
    if X == 1 2 .. K return 0;
    Boolean result = 0;
    for i = 1 to K do
    {
         Y code of permutation get from X by picking number on position i.
         if (F(y) == 0)
         {
             result = 1;   
             break;
         }
    }
    Store result as F(X);
    return result;
}

---

对于每个参数，我们只计算这个函数一次。有一个！长度为1，2的排列！长度为2.的排列。。N长度为N的置换。对于置换长度K，我们需要进行O（K）运算来计算。因此复杂性将是O（1*1！+2*2！+…N*N！）=给定一个不同数字的序列

w

，让

N（w）

是

w

的长度，让

L（w）

是

w

中最长递增子序列的长度。例如，如果

w = 3 5 8 1 4

然后

N（w）=5

和

L（w）=3

当

L（w）=N（w）

，或者相当于

N（w）-L（w）=0

时，游戏结束

向后操作游戏，如果在RobotX的回合

N（w）-L（w）=1

，则最佳游戏是移除不在最长递增子序列中的唯一字母，从而赢得游戏

例如，如果

w=1 7 3

，则

N（w）=3

和

L（w）=2

，最长递增子序列为

1 3

。删除

7

会增加顺序，确保删除

7

的玩家获胜

回到上一个例子，

w=3 5 8 1 4

，如果

1

或

4

被移除，那么对于产生的排列

u

我们有

N（u）-L（u）=1

，因此移除

1

或

4

的玩家肯定会输给有能力的对手。但是，任何其他比赛都会导致胜利，因为它会迫使下一名球员移动到一个失败的位置。在这里，最佳策略是删除

3

、

5

或

8

中的任何一个，之后

N（u）-L（u）=2

，但在下一步之后

N（v）-L（v）=1

沿着这些思路进行的进一步分析应该会为任何一方带来最佳策略

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我所知道的最近的数学游戏是单调序列游戏。在单调序列游戏中，两个玩家从某个固定的有序集合（例如，

1,2，…，N

）中交替选择序列的元素。当结果序列包含长度

A

的上升子序列或长度

D

的下降子序列时，游戏结束。这个游戏起源于鄂尔多斯和塞克勒斯的一个定理，其中有一个很好的解释，布鲁斯·萨根的这篇文章也是一个很好的参考

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如果你想更多地了解一般的博弈论，或者这类游戏，那么我强烈推荐Berlekamp、Conway和Guy为你的数学游戏设计的获胜方式。我相信，第三卷是针对这类游戏的。

这里是智慧之风算法的Python代码。它打印出罗博塔的胜利

import itertools

def moves(p):
    if tuple(sorted(p)) == p:
        return
    for i in p:
        yield tuple(j - (j > i) for j in p if j != i)

winning = set()

for n in range(6):
    for p in itertools.permutations(range(n)):
        if not winning.issuperset(moves(p)):
            winning.add(p)

for p in sorted(winning, key=lambda q: (len(q), q)):
    print(p)

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很抱歉没有真正的解决方案，但我发现如果你保持英语基础，更多的人会理解。把英语作为第二语言，我也觉得有必要使用像“排列”这样的大词，但简单地说“重新排列”会使你更容易阅读和理解你要找的东西。谢谢你的建议。@user85569我不同意。没有理由使语言哑口无言。尤其是当置换是数学和计算机科学中的一个常用词时。@user85569，置换是一个标准的数学术语。它不能用重新安排来代替。@Yuriy Faktorovich我没有用英语教数学或计算机科学。所以我不得不在谷歌上查这个词，知道他想说什么。它阻碍了这一过程，因为我相信很多人都不是以英语为第一语言，也不是用英语教学的。是一个让每个人都更容易理解的建议。。。因为这是互联网…我不认为这是正确的方式。这将是非常缓慢和非常难以实现的，因此游戏是最佳的。@IVlad你有更好的建议吗？Minimax或alpha-beta修剪是探索的标准方法

w = 3 5 8 1 4

import itertools

def moves(p):
    if tuple(sorted(p)) == p:
        return
    for i in p:
        yield tuple(j - (j > i) for j in p if j != i)

winning = set()

for n in range(6):
    for p in itertools.permutations(range(n)):
        if not winning.issuperset(moves(p)):
            winning.add(p)

for p in sorted(winning, key=lambda q: (len(q), q)):
    print(p)