Algorithm 利用深度优先搜索计算最大独立集

无向图G=（V，E）的一个独立集是V的子集I，使得 I中没有两个顶点是相邻的。也就是说，如果u和v在I中，那么（u，v）不在E中。 极大独立集M是一个独立集，如果我们要加 M的任何附加顶点，那么它就不再是独立的了。每一个 图有一个最大独立集。（你能看到这个吗？这个问题不是 这是练习的一部分，但值得考虑。）给出一个有效的算法 计算图G的最大独立集。这个方法的优点是什么 运行时间

我不确定对深度优先搜索的修改是否能解决上述给定的问题，但以下是我的尝试（注意：我不是在寻找代码，只是对我应该做什么的高层次描述）

使用DFS，我们将从一些起始顶点S1开始遍历图的所有顶点。从S1，我们转到相邻边S2，如果不存在相邻边，我们将S1添加到最大独立集M中，因为该顶点在G中的任何其他顶点之间没有边，如果是这种情况，则我们选择另一个顶点S1'并从该点（递归地）执行DFS

假设S1和S2之间有一条边，那么我们可以将S1添加到独立集，而不是S2，然后DFS继续，我们添加S3，因为S3与S1不共享边，DFS继续，我们所做的是继续将S[k]添加到集M，只要它与M中已存在的当前元素不共享边

这将花费我们O（| V |+| E |）时间复杂性。原因：DFS是O（| V |+| E |），每次我们移动到一个新节点时，我们都必须对照M中的一些K元素进行检查，以确保它们不共享一条边。也就是O（k（| V |+| E |））=O（| V |+| E |）

最坏的情况：空图，| V |调用DFS给我们O（| V |）（| V |+| E |）

问题:

（1） 这是正确的吗，我真的找到了最大独立集还是最大独立集

（2） 如果正确，这是否有效

如果完全错了，我真的很感激能找到一个解决办法，我已经考虑这个问题一段时间了

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以下是我解决问题的方法：

输入：一组顶点

V

，邻接列表

E[V]

（每个顶点一个）：

准备一个包含

bool

值的数组

take[]

，大小为

|V |

。所有元素最初都设置为

false

。该数组告诉我们哪些顶点被纳入结果

将[0]设置为

true

对于每个顶点

v=1..v |-1

：如果

E[v]

不包含边

（v，u）

，则

取[u]

为

真

，然后将

取[v]

设置为真

返回所有顶点

v

，使

take[v]

为

true

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总时间复杂度为O（| V |+| E |）

你给一个“时间复杂度”O（| V |+| E |），然后给一个“最坏情况时间复杂度”O（| V |+| E |）根据我的理解，更容易理解的方法是a，基本上是深度优先搜索M，然后从每个连接的组件中选择单个节点；时间复杂度也将是

O（|V|+|E|）

@j_random_hacker我想我应该只提供一个时间复杂度，我提供的第一个时间复杂度是任何图G的平均值，最坏的情况是空图。我提供了这两个时间复杂度，因为我不知道它要的是哪一个。问题没有指定图G的类型。所以我必须做出假设。我们通常对图G感兴趣最坏情况的复杂度。另外，还不清楚你的第一时间复杂度是否是描述平均复杂度的准确方式——我看不到任何东西可以阻止k与| V |成比例，如果这可以发生，那么平均情况复杂度也是O（| V |）（| V |+| e |）。目前没有已知的有效算法解决您的问题。