Algorithm 水库取样无法理解概率

要澄清以下问题：

给定长度不确定的输入流，如果不允许存储超过常量的输入，并且只能遍历一次输入，如何返回该流的随机成员（每个成员的概率相等）

这个问题的解决方案似乎是水库取样，如下所述。 “首先，您希望创建一个包含1000个元素的库（数组），并用流中的前1000个元素填充它。这样，如果您正好有1000个元素，则算法可以工作。这是基本情况

接下来，您要处理第i个元素（从i=1001开始），以便在处理该步骤结束时，从您迄今为止看到的i个元素中随机抽取储存器中的1000个元素。您如何做到这一点？从i=1001开始。在第1001个步骤之后，元素1001应该以何种概率出现（或任何元素）是否在1000个元素的集合中？答案很简单：1000/1001。”

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我无法理解最后一句话“答案很简单：1000/1001”.在1001个元素的数组中找到1个元素的概率不应该是1/1001而不是1000/1001吗？样本空间不是等于1001，结果的有利数量不是等于1吗？

有1001个元素。其中1000个在样本中。一个在样本之外。因此，某个特定元素的概率是s outside是1001个元素中的1个，而它是样本中1000个元素之一的概率是1001个元素中的1000个。

我发现以下参数更清晰。让

s

成为第一个

1000个
元素的集合；让
e
表示流中的最后一个元素（例如，第1001个）。有
{1001 choose 1000}=1001
一组1001个元素的可能大小为1000个子集，您希望所有这些元素都具有相同的存储在数据结构中的概率（每次新元素到达时，该不变量都应保持不变）

1001个元素中包含
e
的1000个大小的子集的数量是多少？好吧，既然
e
是固定的，我们就有
1000个
元素可供选择，我们将选择999个元素，因此就有
{1000个选择999}=1000
这样的子集

因此，
e
位于
S
的概率应为：
{1000选择999}/{1001选择1000}=1000/1001
（即包含
e
的size-1000子集的数量除以所有size-1000子集的数量）

通过
{n选择k}
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