Algorithm 最大超体积单纯形算法

给定D维空间中的一组点。寻找最大可能D-单纯形的最佳算法是什么，其所有顶点都在集合中？代数上，这意味着我们必须找到D+1点的子集，这样D*D矩阵的行列式，由第一个D点和最后一个D+1-st点的坐标增量行构成，在集合上具有最大的可能值（绝对值）

我确信，所有D+1所需的点都是给定点集凸包的顶点，但我需要该算法，该算法没有使用任何凸包算法，因为单纯形需要它们，而单纯形反过来又需要启动多面体等算法

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如果不可能在小于指数的时间内获得单纯形，那么给出近似求解问题的可调比率运行时间/近似精度的算法是什么？

我想不出精确的解决方案，但您可能可以通过迭代方法获得合理的近似值。注意，这里我假设

N

大于

D+1

；如果不是的话，我就误解了这个问题

首先，使用贪心算法构造初始单纯形；选择前两个顶点作为两个最远的点，下一个顶点在二维中最大化尺寸度量，下一个顶点在三维中最大化尺寸度量，依此类推。这在

N

和

D

中具有多项式复杂性
有了初始单纯形，就可以切换到迭代改进。例如，对于单纯形中的给定顶点，您可以通过不在单纯形中的点进行迭代，以测量尺寸度量值的变化，如果您交换这些点，则会导致尺寸度量值的变化。最后你把它换成一个，如果有的话，它会给你带来最大的提升。对单纯形中的每个顶点执行一次同样是

N

和

D

中的多项式
要在运行时成本和产生的单纯形有多大之间进行权衡，只需选择您愿意这样做的次数

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现在这是一个相对粗糙的局部优化算法，因此不能保证它会找到最大单纯形。然而，人们发现，这些方法可以很好地近似解决旅行商问题等问题，尽管它们不是最优的，在大多数情况下，它们导致的距离不会比实际解的距离大太多。

Quickhull不需要找到最大单纯形，这是一种过分的方法（问题太难了，不能保证下一步会更快）

我建议您选择D+1独立方向，并在每个方向上取最远的点。这将在时间

O（N.D²）

上为您提供一个良好的启动单工。（之所以使用

D²

，是因为存在

D+1

方向，并且对某个方向上的距离进行评估需要

D

操作。）

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无论如何都要小心，它可能退化（几个顶点是相同的）。

我自己对解决方案的近似方法是取一个点，从中计算furhtest并拒绝第一个点（完全

N=1

pointselected），然后以这种方式选择其他

D-1

点，每个

N

点选择的无定向

N-1

维超体积（）是最大的。最后，我发现定义单纯形的定向超体积（）的绝对值是最大的。我心目中的总复杂性是关于

O（D*N*D^3）

（

1…D+1

单纯形的顶点，

N…N-D-1

剩余点，

D^3

是

D*M，M在{1,2，…，D}

矩阵乘法复杂性的上估计值）。该方法允许我们找到适当数量的线性独立点，或者找到子空间的维数以及子空间的非规范化和非正交基。对于大量的点和大的维数，所提出的算法的复杂度并不超过quickhull算法的复杂度

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您不一致地使用了“D”。D是维度的数量还是维度空间本身？@Orient你能给我们提供一些例子吗，阅读这篇文章会让事情变得复杂complicated@Amir特别为你：给定一组（x_i，y_i），i在{1..N}点上。请提出一个算法，从这组点得到顶点的最大正方形三角形。算法必须适用于更高维度。你是在解决家庭作业问题还是真的想这样做？@tmyklebu别担心。我不是学生。是的，N比D大。而且，每个D+1点都是线性独立的（不丧失一般性）。与原始

qhull

中实现的相同。