使用sagemath或sympy将n阶微分方程简化为一阶方程组

我想把一个n阶常微分方程化为一阶方程组。这是为数值分析做准备。我使用Symphy和Sagemath来计算计算机代数，但我还没有在它们中找到任何函数来进行这种类型的约简。我不确定是否有其他人可以指出Symphy或Sagemath中是否存在此功能

这方面的一个例子是减少等式：

x''' - 2x'' + x' = 0 

对于一阶方程组：

[0  1 0 
 0  0 1 
 0 -1 2]

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我不使用Sympy或Sagemath。但是在他们的API文档中寻找拉普拉斯或Z变换

• 如果找到了，那么你就没有那么多工作要做了
• 如果没有，您必须自己找到lib或编写它

用拉普拉斯方法求解微分系统

• 我有一段时间没用这个了，所以用一些数学书检查一下
• 无论如何，如果我没记错的话
• 拉普拉斯变换将积分函数转换为线性函数（时域到s域）
• 微分函数必须有连续的导数/积分才能工作
• 要解决您的问题，请执行以下操作：

• 通过积分将所有微分转换为积分
• 应用拉普拉斯变换
  • 这将把微分系统转换成多项式系统
• 解多项式方程组
• 应用拉普拉斯逆变换
  • 这将部分结果转换为解决方案的结果
• 通过probem定义的边案例求解积分常数
• 另外再找一个例子

• 关于这个话题，谷歌有很多东西

用Z求微分系统

• 从未这样做过，但如果与拉普拉斯变换的解不同，则应相似

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问题是，首先，您如何将微分方程编码为字符串。因为编码已经比写下一阶系统更复杂了

一般手动程序是设置x1=x，x2=x'，x3=x''，然后注意

x1'=x'=x2
x2'=x''=x3
x3'=x'''= 2*x'' - x' = 2*x3 - x2

然后将生成的系统转换为矩阵形式

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另请参见多项式的伴随矩阵，这也是（直至换位）高阶线性微分方程系统矩阵的一般形式。

据我所知，Symphy没有直接执行此操作的函数，但手动执行此操作非常简单

我假设你总是希望你的两个附加方程的形式是

y=x'

和

z=y'

首先，让我们创建ODE（在SymPy中，表达式被自动假定为等于零，因此为了简化事情，我们不必担心

=0

部分）。我假设您的独立变量是

t

In [4]: t = symbols('t')

In [7]: x, y, z = symbols('x y z', cls=Function)

In [6]: ode = x(t).diff(t, t) - 2*x(t).diff(t) + x(t)

In [13]: ode = x(t).diff(t, 3) - 2*x(t).diff(t, t) + x(t).diff(t)

In [14]: ode
Out[14]:
               2           3
d             d           d
──(x(t)) - 2⋅───(x(t)) + ───(x(t))
dt             2           3
             dt          dt

现在，如果我们将

x'

替换为

y

In [15]: ode.subs(x(t).diff(t), y(t))
Out[15]:
                      2
         d           d
y(t) - 2⋅──(y(t)) + ───(y(t))
         dt           2
                    dt

我们看到它还将

x'

替换为

y'

。因此，让我们用

z

替换

y'

：

In [16]: ode = ode.subs(x(t).diff(t), y(t)).subs(y(t).diff(t), z(t))

In [17]: ode
Out[17]:
                d
y(t) - 2⋅z(t) + ──(z(t))
                dt

现在我们的系统是

In [20]: Matrix([y(t), z(t), solve(ode, z(t).diff(t))[0]])
Out[20]:
⎡     y(t)     ⎤
⎢              ⎥
⎢     z(t)     ⎥
⎢              ⎥
⎣-y(t) + 2⋅z(t)⎦

请注意，我们已经知道

x'=y

和

y'=z

，所以我们直接使用它们，但我们使用

solve（）

来获得关于

z'

的替换ODE

如果需要系数，一个简单的技巧是采用雅可比矩阵：

In [23]: M = Matrix([y(t), z(t), solve(ode, z(t).diff(t))[0]]).jacobian([x(t), y(t), z(t)])

In [24]: M
Out[24]:
⎡0  1   0⎤
⎢        ⎥
⎢0  0   1⎥
⎢        ⎥
⎣0  -1  2⎦

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我将把把它包装成单个函数

ode_to_系统（ode[x（t），y（t），z（t）]）

留给读者作为练习

我写了一个实验库来处理常微分方程组：

[0  1 0 
 0  0 1 
 0 -1 2]

它是基于Symphy的，不幸的是，我没有写太多文档，但我提供了很多示例。我将按如下方式处理你的等式：

from sympy import *
from symodesys.odesys import AnyOrderODESystem

t = Symbol('t')
x = Function('x')(t)

D1x = x.diff(t)
D2x = x.diff(t, 2)
D3x = x.diff(t, 3)

expr = Eq(D3x, 2*D2x - D1x)

odesys = AnyOrderODESystem.from_list_of_eqs([expr])
print(odesys.all_depv)
redsys = odesys.reduce_to_sys_of_first_order()
print(redsys.all_depv)
print(redsys.f)

哪些产出：

[x(t)]
[x(t), x_h1(t), x_h2(t)]
OrderedDict([(x(t), x_h1(t)), (x_h1(t), x_h2(t)), (x_h2(t), -x_h1(t) + 2*x_h2(t))])

添加一些额外的行可以为您提供一个gui来试验初始值问题 （参见溶液曲线作为初始值的函数）

这给了你：

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安装某些依赖项有点棘手，如果需要帮助，请添加注释

尝试搜索拉普拉斯变换或Z变换，这是常用的purpose@Spektre谢谢你的来信。我不确定拉普拉斯变换在这里是否正确。所以我想拿一个二阶或三阶微分方程，把它转换成一阶系统。实际上，我想使用计算机代数工具，如Sympy或Sage，这样我就可以检查自己的代数错误。使用拉普拉斯变换可以作为求解方程的一种方法，但我不确定它能否将三阶齐次微分方程转化为一阶微分方程组。也许你可以解释一下你的意思。补充答案（这确实是一个注释，但在注释中它是不可读的）@Spektre OP正在寻找将一个常微分方程转换为一阶常微分方程组的方法，该方法可以通过数值解算，例如使用特征值方法。有关一些示例，请参见。无需对字符串进行编码。这就是使用SymPy或Sage的全部意义，它可以直接表示符号对象。您需要将ODE编码为某种代码对象，作为输入，以CAS可以解析和解释的形式。也就是说，把方程从纸上转移到计算机上。即使这是微不足道的，根据方法的不同，所做的工作也将相当于手动建立一阶系统。