Algorithm 活动选择的动态规划解法

在16.1算法简介的活动选择问题中，该问题的动态规划解如下所示：

如果Si，j为空，则c[i，j]=0

c[i，j]=max{c[i，k]+c[k，j]+1}如果Si，j不是空的

其中，Si，j表示活动ai完成后开始的活动集和活动aj开始前完成的活动集，c[i，j]表示集合Si，j的最优解的大小

然而，我正在考虑另一个更简单的解决方案

c[i] = max { c[i - 1], c[f(i)] + 1 }

其中，fi给出了与ai兼容的活动，该活动具有最长完成时间，并在ai开始之前完成

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这样行吗？如果是，作者为什么提供这种复杂的解决方案。如果没有，我遗漏了什么？

我认为您遗漏了设计dp解决方案的许多细节

初始值是多少？ 基本情况是什么？ 如果有几个与ai兼容的活动具有相同的完成时间，会发生什么？ 设计dp解决方案时，所需的属性之一是

特定状态的计算顺序，即c[i]是重要的，它只能由其子问题计算。你的解决方案不符合这个要求，因为当你计算c[i]时，你必须先用j=fi计算c[j]，让我们假设j>i甚至j=i+1，然后你必须在计算c[j]之前计算c[i]！所以c[i]依赖于c[j]，而c[j]依赖于c[i]==>不正确

另一个与这个问题非常相似的例子是

您可能想看看：

编辑： 在看到您编辑问题后，我的回答如下：

假设你可以在合理的时间内预先计算fi，这显然是可以的，你的解决方案是正确的，因为它是贪婪的解决方案，正如其他答案告诉你的那样

从字面上说，它起作用的原因很简单

在第i个活动之前，您可以选择活动i，即c[fi]+1部分，也可以不选择活动i，即c[i-1]部分

你也可以试着构造一个形式证明，贪婪方法的正确性通常可以用矛盾来证明，粗略地说，你可以试着看看，如果你不选择活动i，为什么不可能有一个比c[i-1]更大的集合，类似于你选择活动i的情况

为了回答您关于为什么作者要演示dp解决方案的问题，我认为这与编程环境无关，但我的想法是，用户正在尝试演示两种不同的方法来解决问题，并且在此进一步说明一个想法：给定一个可以通过贪婪方法解决的问题，它也可以通过dp解决，但这是过度杀伤力

然后，作者试图帮助读者认识贪婪和dp之间的区别，因为它们与新手非常相似。这就是为什么作者首先给出DP解来表示痛苦，然后是贪婪解，最后是贪婪与DP的一段

So TL；DR：你的解决方案是正确的，因为它基本上是解决问题的贪婪方法，当然它比书中给出的DP解决方案要容易得多，因为这是本书想要说明的要点。

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第382页书中的一句话：……当贪婪的解决方案足够时，可能会临时生成问题的dp解决方案，或者可能会错误地认为贪婪的解决方案足够……当需要dp解决方案时……

我认为您缺少了设计dp解决方案的许多细节

初始值是多少？ 基本情况是什么？ 如果有几个与ai兼容的活动具有相同的完成时间，会发生什么？ 设计dp解决方案时，所需的属性之一是

特定状态的计算顺序，即c[i]是重要的，它只能由其子问题计算。你的解决方案不符合这个要求，因为当你计算c[i]时，你必须先用j=fi计算c[j]，让我们假设j>i甚至j=i+1，然后你必须在计算c[j]之前计算c[i]！所以c[i]依赖于c[j]，而c[j]依赖于c[i]==>不正确

另一个与这个问题非常相似的例子是

您可能想看看：

编辑： 在看到您编辑问题后，我的回答如下：

假设你可以在合理的时间内预先计算fi，这显然是可以的，你的解决方案是正确的，因为它是贪婪的解决方案，正如其他答案告诉你的那样

从字面上说，它起作用的原因很简单

在第i个活动之前，您可以选择活动i，即c[fi]+1部分，也可以不选择活动i，即c[i-1]部分

你也可以试着构造一个形式证明，贪婪方法的正确性通常可以用矛盾来证明，粗略地说，你可以试着看看，如果你不选择活动i，为什么不可能有一个比c[i-1]更大的集合，类似于你选择活动i的情况

为了回答您关于作者为什么要演示dp解决方案的问题，我认为它超出了progra的范围 mming上下文，但我的想法是，用户试图演示解决问题的两种不同方法，并且在此进一步说明一个想法：给定一个可以通过贪婪方法解决的问题，它也可以通过dp解决，但它是过度杀伤力

然后，作者试图帮助读者认识贪婪和dp之间的区别，因为它们与新手非常相似。这就是为什么作者首先给出DP解来表示痛苦，然后是贪婪解，最后是贪婪与DP的一段

So TL；DR：你的解决方案是正确的，因为它基本上是解决问题的贪婪方法，当然它比书中给出的DP解决方案要容易得多，因为这是本书想要说明的要点。 第382页书中的一句话：……当贪婪的解决方案足够时，人们可能会临时生成问题的dp解决方案，或者当需要dp解决方案时，人们可能会错误地认为贪婪的解决方案足够

这样行吗

是的，那也行

为什么作者提供了这个复杂的解决方案

这不是他们提出的解决方案，而是问题分析的一部分。在你引用的方程式后面的下一段中，作者说：

但我们会忽略另一个重要的特征 活动选择问题，我们可以利用很大的优势

贪婪活动选择器的最终解决方案与您的类似，但更简单

据我所知，他们的观点是，DP解决方案几乎可以按照第15.3章中所述的机械方式构建，而不考虑特定问题的具体情况，但提出更好的算法需要对问题进行深入了解，而不仅仅是优化子结构

您的解决方案依赖于定理16.1，但一旦定理被证明，创建另一个DP算法就没有意义了，因为您已经足够了解这个问题，可以创建一个更简单的贪婪算法

这样行吗

是的，那也行

为什么作者提供了这个复杂的解决方案

这不是他们提出的解决方案，而是问题分析的一部分。在你引用的方程式后面的下一段中，作者说：

但我们会忽略另一个重要的特征 活动选择问题，我们可以利用很大的优势

贪婪活动选择器的最终解决方案与您的类似，但更简单

据我所知，他们的观点是，DP解决方案几乎可以按照第15.3章中所述的机械方式构建，而不考虑特定问题的具体情况，但提出更好的算法需要对问题进行深入了解，而不仅仅是优化子结构

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您的解决方案依赖于定理16.1，但一旦定理被证明，创建另一个DP算法就没有意义了，因为您已经足够了解这个问题，可以创建一个更简单的贪婪算法。

您的解决方案不是与该章中的贪婪活动选择器算法相同吗？不，我不认为这是贪婪的，因为它没有事先作出决定。你的解决方案和那章中的贪婪活动选择器算法不一样吗？不，我不认为这是贪婪的，因为它没有事先作出决定。是的，这是后一种情况。fi表示ai开始之前完成的所有活动。我在这里引用了这一章，而没有提供太多的细节。实际上，ai应该按照完成时间进行排序。在反例中，它们不按完成时间排序。如果切换a1和a2，该算法实际上可以工作。我想知道的是，我的解决方案要简单得多，而且它的运行时间与贪婪的解决方案相同，似乎作者在这里故意选择了一个更难的DP解决方案。@user571 470您的意思是您的解决方案比您在问题中引用的解决方案更简单，还是比本章中的最终算法更简单？因为我看到您的解决方案和贪婪活动选择器之间的唯一区别是，您存储所有c[I]，而贪婪活动选择器只存储添加到结果集中的最后一个活动的索引。我的意思是，它比问题中引用的DP简单。这就是为什么我在问题中根本没有提到贪婪。@user571470这就是我感到困惑的地方。你说作者提供的解决方案太复杂，但你引用的算法不是解决方案。他们的最终解决方案是本章末尾描述的贪婪算法，您没有提到的那个。它本质上是您的算法，但需要进一步优化/简化：不存储所有中间答案，只处理与当前部分解决方案兼容的活动。我更新了答案。@user571470您可能还会问，为什么他们要将过于复杂的DP解决方案与贪婪的解决方案进行比较，而不是将

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最佳DP解与最佳贪婪解？这就是你的意思吗？我也编辑了答案来解决这个问题。是的，是后一种情况。fi表示ai开始之前完成的所有活动。我在这里引用了这一章，而没有提供太多的细节。实际上，ai应该按照完成时间进行排序。在反例中，它们不按完成时间排序。如果切换a1和a2，该算法实际上可以工作。我想知道的是，我的解决方案要简单得多，而且它的运行时间与贪婪的解决方案相同，似乎作者在这里故意选择了一个更难的DP解决方案。@user571 470您的意思是您的解决方案比您在问题中引用的解决方案更简单，还是比本章中的最终算法更简单？因为我看到您的解决方案和贪婪活动选择器之间的唯一区别是，您存储所有c[I]，而贪婪活动选择器只存储添加到结果集中的最后一个活动的索引。我的意思是，它比问题中引用的DP简单。这就是为什么我在问题中根本没有提到贪婪。@user571470这就是我感到困惑的地方。你说作者提供的解决方案太复杂，但你引用的算法不是解决方案。他们的最终解决方案是本章末尾描述的贪婪算法，您没有提到的那个。它本质上是您的算法，但需要进一步优化/简化：不存储所有中间答案，只处理与当前部分解决方案兼容的活动。我更新了答案。@user571470您可能还会问，为什么他们要将过于复杂的DP解决方案与良好贪婪解决方案进行比较，而不是将最佳DP解决方案与最佳贪婪解决方案进行比较？这就是你的意思吗？我也编辑了答案来解决这个问题。