Algorithm 给定voronoi图的生成点；计算它的顶点_Algorithm_Graphics_Computational Geometry_Voronoi

Algorithm 给定voronoi图的生成点；计算它的顶点

algorithm graphics

Algorithm 给定voronoi图的生成点；计算它的顶点,algorithm,graphics,computational-geometry,voronoi,Algorithm,Graphics,Computational Geometry,Voronoi,设$p_i$为生成voronoi图的二维空间中的第i点。这意味着，Voronoi区域$V_i$中的每个点$x$满足不幸的是，最优解是复杂的您可以使用Fortune算法或Guibas&Stolfi算法构建图表，这需要O（N logn）时间和O（N）空间。（由于Voronoi图和Delaunay三角剖分是彼此的对偶，因此可以互换地构造其中一个。）但是Voronoi图的表示不适合于任意点的有效定位。因此，您必须将其转换为梯形图之类的结构，以便在时间O（logn）内进行有效的点位置查询。不幸的是，

设$p_i$为生成voronoi图的二维空间中的第i点。这意味着，Voronoi区域$V_i$中的每个点$x$满足

不幸的是，最优解是复杂的

您可以使用Fortune算法或Guibas&Stolfi算法构建图表，这需要O（N logn）时间和O（N）空间。（由于Voronoi图和Delaunay三角剖分是彼此的对偶，因此可以互换地构造其中一个。）

但是Voronoi图的表示不适合于任意点的有效定位。因此，您必须将其转换为梯形图之类的结构，以便在时间O（logn）内进行有效的点位置查询。不幸的是，我从未见过在Voronoi图的框架中执行这种转换的显式算法。

不幸的是，最优解是复杂的

计算平面中的Voronoi区域相当于计算

半平面的交点-由点

p_I

和每个其他点之间的平分线定义的半平面

p_j

。然而，这个问题（通过对偶性）等价于计算平面上

点的凸包（参见《离散和计算几何手册》）。计算

\Omega（n logn）

平面上一组点的凸包

计算Delaunay三角剖分只需

O（n logn）

时间。因此，正如@matt timmermans和@yves daoust所建议的那样，将输入预处理到Delaunay三角剖分中不会产生实际的开销，可能是大多数应用程序的最佳选择

计算Delaunay三角剖分后，每个查询（区域边界的构造）只需

O（1+k）

时间，其中

是输出大小，即Voronoi区域边界上的顶点/边数。请注意，

本身可以是

\Omega（n）

，例如，如果

n-1

点或多或少地放置在一个圆上，并且

p\u i

靠近其中心

虽然最坏情况下的算法是

\Omega（n log n）

，因此并不比计算Delaunay三角剖分更好，还有一个输出敏感算法的选项，该算法采用

O（n*k）

（取决于输出Voronoi区域的大小）

在Voronoi区域的边界上找到一个顶点相当于线性规划问题的结果（见第4章）

特别是，Megiddo的算法或其随机版本（上述书的第4.4章）在

O（n）

线性时间内运行。找到第一个顶点及其两条生成线后，可以通过将其余的线与生成线相交来找到下一个顶点。最近的交点是下一个Voronoi顶点，然后最近的相交线成为下一条要相交的线。当再次到达第一个顶点时，该过程终止。

总之，每次迭代需要

O（n）

，并且有

k次

迭代，因此该算法总共需要

O（n*k）