Algorithm 无向图中最短圈长度的求法

我尝试了以下方法：

1） DFS，跟踪DFS树中每个顶点的级别

2） 每次看到后边缘（x，y）时，我计算循环长度=级别[x]-级别[y]+1，如果它小于最短值，则保存它

有人能举一个反例来说明这种方法是错误的吗

在无向图中找到最短圈的更好方法是什么

谢谢

为什么DFS不起作用 不能使用DFS查找最短的圆。我们可以很容易地创建一个反例，其中DFS Lead只找到最长的圆。让我们看一下下图：

No fancy picture for this graph yet. Every "o" is a node. o---o | | +-------o---o-------+ | | o----o----o----o----o

如你所见，我们有九个节点。如果我们从最左边的节点

A

开始，则可能会出现以下DFS级别：

我们在迭代时有两条后缘：

• （B，A）

  ，因此我们找到了一个长度为8的圆

• （D，A）

  ，因此我们找到了一个长度为8的圆

但是，最短的圆的长度为5。在下一张图片中，它显示为蓝色，而之前发现的一个圆圈显示为红色：

您没有看到蓝色圆圈，因为DFS路径不包含它。 Dagupa等人在书中也提到了这种行为：

但这也意味着DFS最终可能会走一条长而曲折的路线到达一个实际上非常靠近的顶点

为什么BFS不起作用 这不完全正确，可以使用BFS（见下一小节），但不能使用公式。以下图为例：

No fancy picture for this graph yet. Every "o" is a node. o---o | | +-------o---o-------+ | | o----o----o----o----o 这张图还没有精美的图片。 每个“o”都是一个节点。 o--o | | +-------o--o-------+ | | 啊——啊——啊——啊——啊——啊 让我们看看BFS中可能的级别。如果从中间节点开始，我得到以下级别：

5~~~5 ~~~ are back-edges | | +-------4~~~4-------+ | | 3----2----1----2----3 3~~~4 | | +-------2---3-------+ | | 1----2----3----4~~~~4 5~~~~5~~~是后边缘 | | +-------4~~~4-------+ | | 3----2----1----2----3 如果从左节点开始，我会得到以下级别：

5~~~5 ~~~ are back-edges | | +-------4~~~4-------+ | | 3----2----1----2----3 3~~~4 | | +-------2---3-------+ | | 1----2----3----4~~~~4 3~~~4 | | +-------2---3-------+ | | 1----2----3----4~~~~4 因此，您不能使用级别公式

解决方案

---

虽然效率不高，但使用全对最短路径算法并检查每个节点的距离（i，i）是一个有效的解决方案。

假设我们有一个具有以下边的图

十四,， 42, 43, 23, 三十一

然后可以在1、4、3、1之前遍历周期1、4、2、3、1，并且由于我们正在考虑DFS，所以不会两次访问任何节点。因此，如果首先遍历1，4，2，3，1，那么1，4，3，1或4，2，3，3根本不可能被遍历。因此，使用DFS，可以而不是确保我们将始终获得最短的周期

---

可能的改进：BFS树应该可以很好地工作，因为它一级一级地运行，而且对于BFS树来说，从根到任何节点的距离都是固定的，无论节点的拾取顺序如何。运行时间：O（V+E），而经过修改的Floyd Warshall算法在最坏的情况下将以O（V^3）运行。

我认为这就是您要寻找的：

---

您从每个节点创建一个BFS，因此您的复杂性为O（V*E）

此过程应该正常工作。顺便说一下，如果图中的节点太少，你也可以用Floyd-Warshall算法（实现传递闭包矩阵）找到最小的循环，但是Floyd-Warshall算法需要O（V^3）计算时间，而DFS只需要O（V+E）@fall，我想这也行得通，直到我在达斯古塔发现一个问题，问为什么同样的方法是错误的，并要求反例；所以这肯定是不对的。下面是我发现的问题的链接（请看最后的练习4.4）：对不起，我错过了DFS树。IMHO BFS树应该可以正常工作。在DFS方式中，在较短路径之前可以访问较长路径。+1，这是一个很好的示例。我只想更改“BFS修复”部分中的

后缘

项，它们不应该存在于BFS遍历中。@Leeor:BFS中称为冲突/不一致边的是什么？它们有一个特别的名字吗？我想它们应该是交叉边，后边连接到祖先，这在BFS中是不可能的。我还认为你的复杂性太悲观了。@tor让我们以你为例。为了简单起见，假设深度（p（c））>depth（a）。如果我们引入a--c和b--p（c），如果我们从根开始，我们将有以下检查顺序：p（ab）；a、 b；c、 p（c）；其中a、b分别为。c、 p（c）将在同一迭代中检查。一旦你从p（c）开始，你就会遇到c的后边缘（交叉边缘？已经有一段时间了）。从p（c）和c开始，到该路径上的共同祖先，即p（ab）。因此，你找到了p（ab）-a-c-p（c）-b-p（ab）。@tor我写这个算法已经快四年了，所以我不得不查找我实际上在做什么，但是的，你是对的。我删除了那个算法。顺便说一下，还有一个更简单的反例。以一个包含奇数个节点的线的图为例。将端点称为A和B。引入X和Z，并连接A-X-B和A-Z-B。最短的循环是A-X-B-Z-A，但算法可能会返回A-…-B-X/Z-A。与上面的反例基本相同。不过，所有对最短路径仍然有效。这个图怎么样？如果从1开始，我认为O（V+E）算法没有帮助。