Algorithm 如何计算离散傅里叶变换？

我一直试图找到一些地方来帮助我更好地理解DFT以及如何计算它，但没有用。所以我需要帮助理解DFT和它的复数计算

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基本上，我只是想找一些关于如何计算DFT的例子，并解释它是如何计算的，因为最后，我想创建一个算法来计算它。

我假设1D DFT/IDFT

所有DFT都使用此公式：

c0+c1=(a0+i.b0)+(a1+i.b1)=(a0+a1)+i.(b0+b1)

c0*c1=(a0+i.b0)*(a1+i.b1)
     =a0.a1+i.a0.b1+i.b0.a1+i.i.b0.b1
     =(a0.a1-b0.b1)+i.(a0.b1+b0.a1)

complex = real+i.0

• X（k）

  是转换的样本值（复数域）

• x（n）

  是输入数据样本值（实域或复域）

• N

  是数据集中的样本数/值数

整个过程通常乘以标准化常数

c

。正如您可以看到的，对于单个值，您需要

N

计算，因此对于所有样本，速度较慢的是

O（N^2）

在这里，您还可以找到有关如何使用1D变换计算2D变换的提示，以及如何通过

N点

DFT和IDFT计算

N点

DCT和IDCT的提示

快速算法

有一些快速算法是基于将这个方程分别分解为奇数和偶数部分的和（它给出了

2xn/2

和），这也是每个值的

O（N）

，但这两部分是相同的方程

+/-

一些常量调整。因此，可以直接从第一个计算出一半。这会导致每个值

O（N/2）

。如果以递归方式应用此函数，则每个值都会得到

O（log（N））

。因此，整个过程变成了

O（N.log（N））

，这非常棒，但也增加了以下限制：

所有DFFT都需要输入数据集的大小等于2的幂

所以它可以被递归地拆分。对于无效的数据集大小（在音频技术中，有时甚至是相移），使用最接近2的更大幂的零填充。看这里：

• 关于

复数

• c=a+i*b

• c

  是复数

• a

  是它的真实部分（Re）

• b

  是它的虚部（Im）

• i*i=-1

  是虚单位

所以计算是这样的

添加：

c0+c1=(a0+i.b0)+(a1+i.b1)=(a0+a1)+i.(b0+b1)

c0*c1=(a0+i.b0)*(a1+i.b1)
     =a0.a1+i.a0.b1+i.b0.a1+i.i.b0.b1
     =(a0.a1-b0.b1)+i.(a0.b1+b0.a1)

complex = real+i.0

乘法：

c0+c1=(a0+i.b0)+(a1+i.b1)=(a0+a1)+i.(b0+b1)

c0*c1=(a0+i.b0)*(a1+i.b1)
     =a0.a1+i.a0.b1+i.b0.a1+i.i.b0.b1
     =(a0.a1-b0.b1)+i.(a0.b1+b0.a1)

complex = real+i.0

极坐标形式

a = r.cos(θ)
b = r.sin(θ)
r = sqrt(a.a + b.b)
θ = atan2(b,a)
a+i.b = r|θ

sqrt

sqrt(r|θ) = (+/-)sqrt(r)|(θ/2)
sqrt(r.(cos(θ)+i.sin(θ))) = (+/-)sqrt(r).(cos(θ/2)+i.sin(θ/2))

实数->复数转换：

c0+c1=(a0+i.b0)+(a1+i.b1)=(a0+a1)+i.(b0+b1)

c0*c1=(a0+i.b0)*(a1+i.b1)
     =a0.a1+i.a0.b1+i.b0.a1+i.i.b0.b1
     =(a0.a1-b0.b1)+i.(a0.b1+b0.a1)

complex = real+i.0

[notes]

• 不要忘记，您需要将数据转换为不同的阵列（未就位）
• FFT递归上的标准化常数很棘手（通常类似于

  /=log2（N）

  的东西也取决于递归停止条件）
• 如果

  N=1或2

  ，不要忘记停止递归
• 当心FPU会在大数据集上溢出（

  N

  很大）
• 这里
• 这里
• 通常用于计算

  e^（i.x）=cos（x）+i.sin（x）

• 在这里，您可以找到如何获得奈奎斯特频率

[edit1]我还强烈建议观看这段精彩的视频（我刚找到）：

c0+c1=(a0+i.b0)+(a1+i.b1)=(a0+a1)+i.(b0+b1)

c0*c1=(a0+i.b0)*(a1+i.b1)
     =a0.a1+i.a0.b1+i.b0.a1+i.i.b0.b1
     =(a0.a1-b0.b1)+i.(a0.b1+b0.a1)

complex = real+i.0

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它描述了几何表示中的（D）FT。我想对其中的一些小东西进行修改，但它仍然非常简单易懂。

看看这里，嗨！当输入大小不是2的幂时，你有什么想法吗？@ChongxuRen将数据集放大，然后将PAD设为零，我认为这是不对的。添加新数据将更改$W_N$。在这个问题上需要更先进的技术@崇旭人我使用FFT和NTT主要用于任意和大型算法，使用简单的零填充的最终结果（在时域）是正确的。对于不同的目的，需要频域中的精确值，您是对的。