Algorithm C++；

问题

我有一个计算一维多项式，联合函数的公式。我想找到给定范围内该函数的所有局部极大值

我的方法

我目前的解决方案是，我在范围内的一定数量的点上评估我的函数，然后我通过这些点，记住函数从上升到下降的点。当然，我可以在间隔内更改样本数，但我希望找到样本数尽可能少的所有最大值

问题

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你能给我推荐一些有效的算法吗

找到未知函数的所有最大值是困难的。你永远无法确定你找到的最大值实际上只是一个最大值，或者你没有忽略某个最大值

但是，如果对该函数有所了解，您可以尝试利用它。当然，最简单的一个问题是，如果已知函数是有理的且在等级上有界的。对于五级有理函数，可以从闭合公式推导出所有四个极值，详情见。很可能，您不想实现这一点，但对于线性、平方和立方根，闭合公式是可行的，可以用于找到四次函数的最大值

这只是可能知道的最简单的信息，其他有趣的信息是你是否能给出二阶导数的界。这将允许您在发现强坡度时降低采样密度

您还可以利用您打算如何使用您发现的最大值的信息。它可以为你提供你需要多高精度的线索。知道一个点接近最大值就足够了吗？还是说一个点是平的？如果鞍点被归类为最大值，这真的是个问题吗？或者，如果一个最大的权利旁边的转折点被忽略？允许的误差是多少

如果您不能利用这样的信息，那么您将返回到对函数进行小步采样的过程中，并希望您不要犯太多错误

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编辑：
您在评论中提到，您的函数实际上是一个内核密度估计。这至少为您提供了以下信息：

• 除非内核不受扩展限制，否则估计函数将是一个分段函数：它上的任何点都只会受到可精确计算的测量点数量的影响

• 如果核函数基于有理函数，则得到的估计函数将是分段有理函数。它将与内核具有相同的等级
  • 如果核是统一核，则估计函数将是阶跃函数。
    这种情况需要特殊处理，因为在数学意义上不会有任何极大值。然而，这也让你的工作变得非常简单

  • 如果核是三角形核，则估计函数将是分段线性函数

  • 如果核是Epanechnikov核，则估计函数将是分段二次函数

  在所有这些情况下，生成分段函数并找到它们的最大值几乎是微不足道的

• 如果内核的级别太高或超越，那么您仍然知道估计所基于的度量，并且您知道内核属性。这允许您推导出一个关于最大值密度的启发式方法

• 至少，你知道内核的一阶导数和二阶导数
  • 原则上，这允许您在任意点计算估计函数的一阶和二阶导数

  • 在局部核的情况下，在任何点计算估计函数的一阶导数和二阶导数的上界可能更为谨慎

  有了这些信息，应该可以将搜索限制在存在最大值的区域，并避免斜率过采样

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如您所见，从函数的知识中可以获得许多有用的信息，您可以利用这些信息发挥自己的优势。

局部极大值位于一阶导数的根中。为了在你的工作时间间隔中分离出这些根，你可以使用Sturm定理，然后进行二分法。理论上（使用精确的算术），它给出了所有的实根

一种等效的方法是用Bezier/Bernstein基表示多项式，并寻找系数符号的变化（赫尔特性）。通过对贝塞尔函数的递归细分，可以有效地实现二分搜索

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对于多项式，有几种经典算法可用，例如拉盖尔算法，它们通常也会寻找复数根。

不知道效率，但这很简单：值得注意的是，均匀采样可能会失败，因为极值可以任意接近。谢谢，但有一点问题，我的“公式”来自“核密度估计”，因此它不是典型的分析多项式，而是由原始数据点和给定采样的“函数点”求和而成的。@Michal添加了一些可以从这些知识中获得的信息。我想应该会有帮助。谢谢，我用的是普通（高斯）内核。关于“你知道核的一阶导数和二阶导数”=>“这允许你在任意点计算估计函数的一阶导数和二阶导数”你有高斯核的一阶导数和二阶导数的公式，不是吗？我假设你知道如果

f（x）=a*g（x）+b*h（x）

，那么导数就是

f'（x）=a*g'（x）+b*h'（x）

。因为你的函数是一个加权和，它的导数就是这样计算的。二阶导数也是一样。