Binary 请解释Goldberg 91中的定理7

定理7

当β=2时，如果m和n是| m |<2^（p-1）的整数，且n具有特殊形式n=2^i+2^j，则（mn）n=m，前提是浮点运算是精确四舍五入的

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如果我把全部证据都贴在这里，它会很长，很难看。因此，请单击右侧的链接，按ctrl+F，然后找到

定理7

。就在那里

好的，我必须说，至少从我自己的角度来看，定理7的证明太奇怪了，难以理解，尽管作者声称它很巧妙

我唯一能理解的是，

m在二进制点的右边最多有1位。是的，我知道，但是为什么
那么n*qbar会变成m
？我也不能理解所谓的“中间方案”以及从那句话开始的几乎所有事情

欢迎任何帮助，提前谢谢

编辑：

有趣的是，下面的第一条评论一下子解决了我所有的问题，第二条评论建议我缩小我的文章范围

对。要求一个人解释全部证据是不人道的。现在我的问题是：

为什么
初始未标度m的低阶位为0
（见公式9下面的段落）？最高有效位不应该是零而不是最低有效位吗？这与“大端”或“小端”有关吗？
首先，让我们用2来缩放n。n应大于或等于2^p-1，小于2^p。标度n将由n'捐赠。缩放不会有任何区别。指数是被修改的，因为数字是二进制的，我们只需要关注有效位/尾数

接下来，m被缩放，产生m'，因此
q'=m'/n'
，小于1，大于1/2（事实上，我认为应该有
1/2
）。这样的缩放是可能的，因为上界是下界的两倍，β=2

如我们所见，
2^p-1≤ n'<2^p
和
1/2
，而
m'=q'*n'
。由于q'和n'为正，m'的最大值是n'和q'最大值的乘积，即
2^p*1=2^p
。同样，m'的最小值是
2^p-1*1/2=2^p-2

既然
2^p-2
，我们可以说
p-2
，那么二进制点右侧的位数将是p-1（当
log2（m'）
在p-2和p-1之间时发生）或p（当
log2（m'）
大于或等于p-1时）。因此，m'在二进制点的右边最多有一位

正如马克·迪金森（Mark Dickinson）所说，因此，m'和下一个精度p浮动上/下之间的差值至少为1/2。所以为了表示一个量将四舍五入到m'，就足以表示它在m'的1/4之内

除此之外，“中间情况”，即数量正好是m的1/4的情况，值得单独讨论：由于初始未标度的m具有
|m |<2*p-1
，因此它至少在二进制点右侧有一位，原因与上述相同。m是一个整数，因此二进制点右边的所有数字都是零。当然，出于这个原因，它的低阶位是0。因为缩放对有效位/尾数没有影响，所以m'的低位也是0

因此，使用舍入到偶数，这是原作者通过写“在本文的其余部分中，将使用舍入到偶数”而采用的。上面（您可以再次使用ctrl+F来查找它），m'+1/4（二进制中的0.01）将舍入到m'，因为0是偶数

也就是说，如果q̄=mn，证明定理需要证明

|n'*q̄-m'|≤ 1/4

更新1
q'是一个有理数，并且q'<1，所以我们可以假设q'=0.q1 q2。。。在二进制中，其中qi，其中i=1,2,3。。。是包含0或1的单个数字。设q̂=0.q1 q2。。。qp 1。小心，这个标记是“q-hat”，而不是“q-bar”，它是我刚刚引入的一个新变量

现在，如果我们将q̂左移p+1位，我们将得到一个整数，即q1 q2。。。qp 1，因为所有位都在二进制点的左侧。我以后会用N来表示这个整数。因此，
|q̂-q'|=|N/2^（p+1）-m'/N'|

N的低位是1，因此我们知道
N=1+（qp*2^1+qp-1*2^2+…+q1*2^p）
。显然，N是一个奇数整数。最初，
n=2^i+2^j
。因为缩放一个数字只是将其乘以或除以2，所以n'仍然是2的两个指数之和。让它们成为
n'=2^i'+2^j'
。为了方便起见，假设
i≥ j'

2^p-1≤ n'<2^p
，所以
2^p-1≤ 2^i'+2^j'<2^p
。因此，占n'较高比例的i'必须是p-1。要使n'小于2^p，j'必须不等于i'。为了可读性，让k=j'，所以k≤ p-2。因此,

。（将所有n替换为n'，m替换为m'）

我建议你自己用一些草稿纸来验证这个公式

更新2
看看分子
|（2^（p-1-k）+1）*N-2^（p+1-k）*m'
。正如我们已经证明的，
k≤ p-2，所以p-1-k≥ 1
，确保
2^（p-1-k）
和
2^（p+1-k）
是均匀的。
（2^（p-1-k）+1）
和
N
都是奇数，因此
（2^（p-1-k）+1）*N
是奇数，而
2^（p+1-k）*m'
是偶数，奇数不能等于偶数。因此，
（2^（p-1-k）+1）*N-2^（p+1-k）*m'
是一个非零整数。它的绝对值，即分子，因此保证等于或大于1。因此,

| q̂-q'|≥ 1/（n'*2^（p+1-k））

q'<1
和
q̄<1
，所以
q'*q̄<1
。作为一个