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Coq：证明<；和≤；

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Coq：证明<；和≤；,coq,proof,coq-tactic,Coq,Proof,Coq Tactic,我现在正在学习Coq，在一个更大的证明中，我被以下子证明难住了： Theorem sub : ∀ n m : nat, n ≤ m → n ≠ m → n < m. 这里，“n≤ “m”的归纳定义如下： Inductive le : nat → nat → Prop := | le_n : ∀ n : nat, le n n | le_S : ∀ n m : nat, (le n m) → (le n (S m)). 我还没走多远，但我的尝试是这样的： Theore

我现在正在学习Coq，在一个更大的证明中，我被以下子证明难住了：

  Theorem sub : ∀ n m : nat, n ≤ m → n ≠ m → n < m.
这里，“n≤ “m”的归纳定义如下：

  Inductive le : nat → nat → Prop :=
  | le_n : ∀ n : nat, le n n
  | le_S : ∀ n m : nat, (le n m) → (le n (S m)).
我还没走多远，但我的尝试是这样的：

  Theorem sub : ∀ n m : nat, n ≤ m → n ≠ m → n < m.
  Proof.
    unfold lt.
    intro n.
    induction n.
    - induction m.
      + intros. exfalso. contradiction.
      + admit.
    - admit.
  Admitted.
我不知道如何利用这个假设来证明这个子目标。如果能给我提供正确的指导，我将不胜感激。

既然
le
被定义为归纳谓词，那么对其进行归纳比
n
更有意义
le
没有任何引用
0
甚至
SN
（它确实有
SM
），因此对
n
进行归纳可能不是一种方法。对
m
进行归纳可能有效，但可能比必要的难度更大

在开始正式证明之前，考虑一下如何非正式地证明这一点（尽管仍然使用相同的定义），通常会有所帮助。如果您假定
n≤ m
，然后根据
lt
的归纳定义，这意味着
n
和
m
是相同的，或者
m
是某个数
m'
的后继数，并且
n
小于或等于
m'
（你能看出
lt
的定义为什么意味着这一点吗？）。在第一种情况下，我们必须使用附加的假设，
n≠ m
推导出一个矛盾。在第二种情况下，我们甚至不需要它<代码>n≤ m'表示
sn≤ S m'
，所以既然
m=S m'
，
sn≤ m
，即
n

对于形式化，我们必须在最后一行证明
n的假设≤ m
表示
sn≤ S m
。你应该尝试类似的非正式分析来证明这一点。除此之外，非正式的证明应该直接形式化。
H:n案例分析≤ m
只是
自毁H.

还有一件事。这不是必要的，但从长远来看通常会有所帮助。在定义归纳类型（或谓词）时，如果您可以将每个构造函数中使用相同方式的参数分解出来，则可以使归纳原理更加强大。使用
le
，
n
的方法是普遍量化的，并且对两个构造函数使用相同的方法。
le
的每个实例都以
le n
开头

  Inductive le : nat → nat → Prop :=
  | le_n : ∀ n : nat, le n n
  | le_S : ∀ n m : nat, (le n m) → (le n (S m)).
这意味着我们可以将该索引分解为一个参数

  Inductive le' (n: nat) : nat → Prop :=
  | le_n' : le' n n
  | le_S' : ∀ m : nat, (le' n m) → (le' n (S m)).
这将为您提供一个稍微简单/更好的归纳原理

le'_ind
     : forall (n : nat) (P : nat -> Prop),
       P n ->
       (forall m : nat, le' n m -> P m -> P (S m)) ->
       forall n0 : nat, le' n n0 -> P n0
将此与
leu ind
进行比较

le_ind
     : forall P : nat -> nat -> Prop,
       (forall n : nat, P n n) ->
       (forall n m : nat, le n m -> P n m -> P n (S m)) ->
       forall n n0 : nat, le n n0 -> P n n0
基本上，这里发生的事情是，使用
leu ind
，您必须证明每个
n
的一切。使用
le''u ind
，您只需证明您正在使用的特定
n
。这有时可以简化证明，尽管这不是证明定理的必要条件。要证明这两个谓词是等价的，这是一个很好的练习。

除了@SCappella的答案外，请注意，
介绍；lia。
也会解决这个问题。 
le'_ind
     : forall (n : nat) (P : nat -> Prop),
       P n ->
       (forall m : nat, le' n m -> P m -> P (S m)) ->
       forall n0 : nat, le' n n0 -> P n0

le_ind
     : forall P : nat -> nat -> Prop,
       (forall n : nat, P n n) ->
       (forall n m : nat, le n m -> P n m -> P n (S m)) ->
       forall n n0 : nat, le n n0 -> P n n0