Coq变量存在于列表中

我无法证明列表中的存在变量。我怎样才能证明这一点：

Lemma exists_in_list_helper: forall (X : Type) (a : X) (P : X -> Prop),
        (exists b : X, In b [a] -> P b) ->
        P a.
Proof.
Admitted.

我还有一个问题。如何对列表中的值进行案例分析（如果列表的这一部分中是否存在）？这是我要证明的主要引理。感谢您的帮助：

Lemma in_list: forall (X : Type) (a : X) l (P : X -> Prop),
        (a :: l <> [] /\ exists b : X, In b (a :: l) -> P b) ->
        (P a /\ l = []) \/
        (P a /\ l <> [] /\ exists b : X, In b l -> P b) \/
        (P a /\ l <> [] /\ forall b : X, In b l -> ~ P b) \/
        (~ P a /\ l <> [] /\ exists b : X, In b l -> P b).
Proof. 

列表中的引理：forall（X:Type）（a:X）l（P:X->Prop）， （a：：l[]/\exists b:X，在b（a：：l）->pb）-> （P a/\l=[]）\/ （P a/\l[]/\exists b:X，在b l->P b中）\/ （P a/\l[]/\n对于所有b:X，在b l->~P b中）\/ （~pa/\l[]/\exists b:X，在bl->pb中）。 证明。

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谢谢，

对于第一个问题，我想说你可能还需要一个事实，

X

上的等式是可判定的：要么

a=b

你可以替换，要么

ab

你得到一个矛盾，但你需要能够进行这样的案例分析

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对于第二个，您可以删除

a:：l[]

部分，它总是正确的，不会给您任何东西。我很确定你也需要可判定等式（出于同样的原因）。

你的第一个引理似乎不太可能：我们知道存在一个

b

，使得

pb

在[a]中保持iff

b\。然而，我们不知道[a]

中的

b\n是否成立，因此似乎很难证明。您可以将您的声明视为：

Lemma exists_in_list_helper (X : Type) (a : X) (P : X -> Prop) :
        (exists b : X, a = b -> P b) ->
        P a.

然后，它不会立即跟随
a=b
。您可能需要一个引理，例如：

Lemma in1 T (x y : T) : In x [y] <-> x = y.
Proof.
split; intros H.
+ now apply in_inv in H; case H.
+ now rewrite H; constructor.
Qed.

但这需要对
x
类型的等式的可判定性，参见_dec

中的引理

。如果在
l1、l2
中拆分列表
l
，则其结果如下：

x \in l1 ++ l2 <-> x \in l1 \/ x \in l2

其中
{x&px}
是
类型
版本的
exists x，px
谢谢您的友好回答。我还有一个问题。使用apply时出现“不可能统一”错误。我知道我们可以使用“模式”战术，但我不能正确地使用它。我已经证明了以下几点：~（exists b:X，In b l->P b）->（forall b:X，In b l->~P b）。我使用了模式（forall b:X，In b l->~P b），它产生了一个“乐趣”，但再次无法使用应用我的引理将forall替换为~exists。。。你能帮助我如何正确地使用模式来指导应用策略吗？@saeedM我认为这值得再问一个问题，我不知道你想做什么。请注意，您尝试进行的替换通常不适用于构造性逻辑。
x \in l1 ++ l2 <-> x \in l1 \/ x \in l2

x \in l -> { l1, l2 & l = l1 ++ [x] ++ l2 }