C++ 使用加法链计算（a^x）模n。C++；

我读过密码学，在Bruice Schneier的《应用密码学》（Applied cryptography）一书中，我发现上述算法能够以较低的计算成本计算

（x^y）mod n

。它基本上使用一种称为加法链的算法来减少计算中的乘法量。我能够在纸上和笔上使用这个过程，但是尽管一遍又一遍地阅读上面的代码，我仍然无法理解它是如何工作的。因此，请给我指出正确的方向（某种文章链接），我可以在这里分析上述算法，或者如果你能在这里给出解释，这将非常有帮助

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附言：本书中没有对代码进行解释。

指数

y

被写成二的幂和，即二进制

考虑一个实际的例子：

（x**11）%M

。从数学上讲

unsigned long qe2(unsigned long x, unsigned long y , unsigned long n)
{
    unsigned long s,t,u;

    s=1; t=x; u=y;

    while(u)
    {
        if(u&1)
            s = (s*t)%n;
        u>>=1;
        t= ( t*t)%n;
    }
    return s;
}

这很有用，因为一个简单的循环就足以计算两次幂的幂。例如，如果要计算

x**（2**i）

：

请注意，测试

（i&index）

是一个二进制AND运算，如果结果为非零，则为真；如果结果为零，则为假。因为

i

是二的幂，所以在二进制中它有一个

1

，所有其他二进制数字为零，因此它基本上测试用二进制编写的指数在该位置是否有一个

1

OP的代码更简单，因为它不使用单独的变量

i

和

因子

，而是将

指数

向右移动（删除最右边的二进制数字），并使用

基

本身。就是

unsigned long power(unsigned long basis,
                    unsigned long exponent)
{
    unsigned long result = 1u;
    unsigned long factor = basis;
    unsigned long i;

    for (i = 1u; i < exponent; i = i * 2u) {
        /* i is some power of two,
           and factor = basis**i.
        */

        /* If i is in the sum (of powers of two) for exponent,
           we include the corresponding power of basis
           in the product. */
        if (i & exponent)
            result = result * factor;

        /* Update factor for the next i. */
        factor = factor * factor;
    }

    return result;
}

模运算是最后的折痕，但它也很琐碎。如果计算某个正整数的乘积，则可以对每个项和每个临时结果应用模运算符，而不会影响结果：

unsigned long power(unsigned long basis,
                    unsigned long exponent)
{
    unsigned long result = 1u;

    while (exponent > 0u) {
        if (exponent & 1u)
            result = result * basis;
        basis = basis * basis;
        exponent = exponent >> 1;
    }

    return result;
}

这显然很有用，因为您可以计算任意数量项的乘积，所有项都小于

m

，所有中间项都小于

m*m

---

这种求幂运算的时间复杂度是O（logn），其中N是指数。

了解其工作原理的最佳方法可能是使用调试器逐行遍历代码。然后观察变量值在每一步是如何变化的。“加法链”是用来描述这类算法的通用术语。但是，这是一个简化的特殊情况，通常称为，并且您可以找到许多使用该搜索词的文档。由于Stack Overflow对您隐藏了密切的原因：“要求我们推荐或查找书籍、工具、软件库、教程或其他非现场资源的问题与Stack Overflow无关，因为它们往往会吸引固执己见的答案和垃圾邮件。相反，请描述问题以及迄今为止为解决问题所做的工作。”这帮助了我，谢谢，但是我认为代码中有一个错误：在函数power（）的第二个示例中，结果最初是零（我认为应该是1）。。它一直保持为零直到结束，因此函数将始终返回零。@RatulThakur:当然，两个

power（）

函数都应该以

result=1u

开头。固定的。抢手货非常感谢。

unsigned long power(unsigned long basis,
                    unsigned long exponent)
{
    unsigned long result = 1u;
    unsigned long factor = basis;
    unsigned long i;

    for (i = 1u; i < exponent; i = i * 2u) {
        /* i is some power of two,
           and factor = basis**i.
        */

        /* If i is in the sum (of powers of two) for exponent,
           we include the corresponding power of basis
           in the product. */
        if (i & exponent)
            result = result * factor;

        /* Update factor for the next i. */
        factor = factor * factor;
    }

    return result;
}

unsigned long power(unsigned long basis,
                    unsigned long exponent)
{
    unsigned long result = 1u;

    while (exponent > 0u) {
        if (exponent & 1u)
            result = result * basis;
        basis = basis * basis;
        exponent = exponent >> 1;
    }

    return result;
}

(a * b * c * d * ... * z) % m
= ( (a % m) * (b % m) * (c % m) * ... * (z % m) ) % m
= ( ... (((((a % m) * (b % m)) % m) * (c % m)) % m) * ... * (z % m)) % m