C++ 电子游戏编程中的数学

我刚刚在大学完成了第二年的游戏课程，这一直困扰着我数学和游戏编程的关系。到目前为止，我一直在游戏中使用

向量

，

矩阵

，和

四元数

，我可以理解这些如何适合游戏

这是一个关于数学和实时图形编程之间关系的

一般性问题，我很好奇数学的动态性。是否所有公式和导数都是预定义的（半定义的）

实时计算导数/积分是否可行

这些都是我不认为它们如何适合编程/数学的例子

MacLaurin/Talor Series
我可以看出这很有用，但是在这种情况下，你必须传递函数及其导数，还是可以传递一个函数，让它为你算出导数

MacLaurin(sin(X)); or MacLaurin(sin(x), cos(x), -sin(x));


导数/积分
这与第一点有关。计算在运行时动态完成的函数的
y'
，或者这是静态完成的，可能是使用集合函数中的变量

f = derive(x); or f = derivedX;


Bilnear补丁
我们了解到，这是一种可以生成小块景观的方法，可以“缝合”在一起，这在游戏中会发生吗？我从来没有听说过这种方法（尽管我的知识非常有限）被用于程序方法或其他方面。到目前为止，我所做的是处理顶点信息的数组

抱歉，如果这是离题的话，但是这里的社区似乎在这类事情上很到位

谢谢。
游戏中的大多数数学都是为了尽可能便宜地计算，交易速度高于准确性。例如，许多数字运算使用整数或单精度浮点，而不是双精度浮点

不确定你的具体例子，但如果你能事先为一个导数定义一个便宜的（计算）公式，那么这比在运动中计算东西要好。
在游戏中，性能是最重要的。如果可以静态地进行，你将找不到任何动态地进行的操作，除非它能显著提高视觉保真度。
2）导数和积分通常不会在大型数据集上实时计算，其成本太高。相反，它们是预先计算的。例如（在我的头顶）渲染单个散射媒体Bo Sun等人使用他们的“airlight模型”，该模型由许多代数快捷方式组成，以获得预计算的查找表

3） 流式传输大数据集是一个大主题，特别是在地形中

你们在游戏中遇到的很多数学问题都是为了解决非常具体的问题，而且通常都很简单。线性代数的应用远远超过任何微积分。在图形方面（我最喜欢这个），很多算法都来自于学术界的研究，然后游戏程序员为了提高速度对它们进行了修改：尽管现在连学术研究都把提高速度作为他们的目标

我推荐两本书实时碰撞检测和实时渲染，它包含游戏引擎编程中使用的大部分数学和概念的内含。
 < P>我认为你对C++语言本身的理解存在一个根本性的问题。C++中的函数与数学函数不一样。所以，在C++中，您可以定义一个函数（我现在称之为避免混淆的方法）来实现数学函数：

float f (float x)
{
  return x * x + 4.0f * x + 6.0f; // f(x) = x^2 + 4x + 6
}

class ExampleFunction : Function
{
  float f (float x) { return x * x + 4.0f * x + 6.0f; } // f(x) = x^2 + 4x + 6 
  float df (float x) { return 2.0f * x + 4.0f; } //  f'(x) = 2x + 4
  float ddf (float x) { return 2.0f; } //  f''(x) = 2
};

<>在C++中，除了获得给定x的f（x）值外，没有其他方法可以做任何事情。数学函数f（x）可以很容易地进行变换，例如f’（x），在上面的例子中是f’（x）=2x+4。要在C++中这样做，您需要定义一个方法DF（x）：

你不能这样做：

get_derivative (f(x));

并让方法
get_导数
为您转换方法f（x）

此外，还必须确保当需要f的导数时，调用方法df。如果你偶然调用g的导数的方法，你的结果会是错误的

然而，对于给定的x，我们可以近似地求出f（x）的导数：

float d (float (*f) (float x), x) // pass a pointer to the method f and the value x
{
  const float epsilon = a small value;
  float dy = f(x+epsilon/2.0f) - f(x-epsilon/2.0f);
  return epsilon / dy;
}

但这是非常不稳定和非常不准确的

现在，在C++中，您可以创建一个类来帮助：
class Function
{
public:
  virtual float f (float x) = 0; // f(x)
  virtual float df (float x) = 0; // f'(x)
  virtual float ddf (float x) = 0; // f''(x)
  // if you wanted further transformations you'd need to add methods for them
};

并创建特定的数学函数：

float f (float x)
{
  return x * x + 4.0f * x + 6.0f; // f(x) = x^2 + 4x + 6
}

class ExampleFunction : Function
{
  float f (float x) { return x * x + 4.0f * x + 6.0f; } // f(x) = x^2 + 4x + 6 
  float df (float x) { return 2.0f * x + 4.0f; } //  f'(x) = 2x + 4
  float ddf (float x) { return 2.0f; } //  f''(x) = 2
};

并将此类的实例传递给系列扩展例程：

float Series (Function &f, float x)
{
   return f.f (x) + f.df (x) + f.ddf (x); // series = f(x) + f'(x) + f''(x)
}

但是，我们仍然需要自己为函数的导数创建一个方法，但至少我们不会意外地调用错误的方法

现在，正如其他人所说，游戏倾向于速度，所以很多数学都被简化了：插值、预计算表等等。
您可能对编译时符号微分感兴趣。这（原则上）可以用C++模板来完成。不知道游戏在实践中是否会这样做（对于正确编程来说，符号差异可能过于昂贵，而在编译时使用如此广泛的模板可能过于昂贵，我不知道）

然而，我想你可能会发现这个话题的讨论很有趣。谷歌搜索“c++模板符号导数”会给出一些文章。
如果你对符号计算和导数计算感兴趣，有很多很好的答案

然而，作为一种理智的检查，这种符号（分析）演算在游戏环境中实时执行是不实际的

根据我的经验（计算机视觉中的3D几何比游戏更重要），3D几何中的大部分微积分和数学都是通过提前离线计算，然后编码来实现这个数学。很少有人需要在飞行中象征性地计算事物，然后以这种方式获得飞行中的分析公式

任何游戏程序员都能验证吗？
Skizz的答案从字面上看是正确的，但仅限于
using namespace std;

template<class Float>
Float f(Float x)
{
  return x * x + Float(4.0f) * x + Float(6.0f);
}

struct D
{
  D(float x0, float dx0 = 0) : x(x0), dx(dx0) { }
  float x, dx;
};

D operator+(const D &a, const D &b)
{
  // The rule for the sum of two functions.
  return D(a.x+b.x, a.dx+b.dx);
}

D operator*(const D &a, const D &b)
{
  // The usual Leibniz product rule.
  return D(a.x*b.x, a.x*b.dx+a.dx*b.x);
}

// Here's the function skizz said you couldn't write.
float d(D (*f)(D), float x) {
  return f(D(x, 1.0f)).dx;
}

int main()
{
  cout << f(0) << endl;
  // We can't just take the address of f. We need to say which instance of the
  // template we need. In this case, f<D>.
  cout << d(&f<D>, 0.0f) << endl;
}