C++ 是（1+；sqrt（2））^2=3+；2*sqrt（2）是否满足浮点运算？

在数学中，恒等式

（1+sqrt（2））^2=3+2*sqrt（2）

成立。但在浮点（IEEE 754，使用单精度即32位）计算中，情况并非如此，因为

sqrt（2）

没有二进制的精确表示

那么，使用近似值

sqrt（2）

是否会为左侧和右侧提供不同的结果？如果是，为什么？将近似值平方是否会显著降低精度

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那么，哪一个等价表达式给出了最准确的结果

因为偶数

0.1+0.2！=0.3

对于有限精度浮点数，不应指望使用如此复杂的等式

由于这些数字被四舍五入到一定数量的二进制小数，如果数字（如0.1）有无限多个二进制数字，它们就不精确。因此，使用这些数字进行计算的结果也不准确，预计与精确计算结果存在微小差异

那么，使用sqrt（2）的近似值是否为左侧和右侧提供了不同的结果？如果是，为什么

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从数学上讲，这个等式只适用于这些数字之间的精确关系（它与三角形边的长度有关）。如果以不精确表示的形式添加模糊性，则等式不再成立。平等是一个二元命题，因此问题不再是“哪一方是对的”，而是“这种关系是真的吗？”。答案是，“不，这不再是真的了”

将近似值平方是否会显著降低精度

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对两个浮点值的每次操作都可能降低其精度。某些数字的一个非常小的运算子集——那些具有精确位表示的数字——可以保证不会降低精度。

看看好的一面：如果你重新计算该方程以去除

sqrt

s，那么因为你要处理的是大小合理的整数，所以该方程在浮点上是精确的；）

不准确通常与需要小数（除.5和.2的幂）来表示的数字有关

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回答你问题的另一部分：否，

sqrt（2）

的表述在双方都是相同的。直到您开始对两侧的同一数字应用（不同）操作时，才会引入错误（和差异）：加1与乘2，等等。

比较浮点值时，我发现最好将差异的绝对值与给定公差进行比较。你可以一直相信这一点。

一般来说，双方会给你不同的结果。浮点数学不满足交换性和关联性。涉及到许多因素，包括编译器选项和硬件

对于你的方程，你可能会发现哪一边更准确（我的猜测是相乘的一边），但如果你决定使用不同的值，它通常不会成立，即一边可能对某些值更准确，而另一边对其他值更准确

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平方不应该影响到你的情况。

< P>定义C++中的浮点相等比较器的人应该被拍摄：>。许多合理的语言（如SML）没有float的比较运算符。我通常使用以下代码：

template < typename T >
inline bool equals( T x, T y, T precision = std::numeric_limits<T>::epsilon() ) 
{
    return abs( x - y ) <= precision;
}

模板
内联布尔等于（tx，tyy，tprecision=std:：numeric_limits:：epsilon（））
{
返回abs（x-y）通常我使用[（1+sqrt（2））^2]-[3+2*sqrt（2）]<0.00001来测试这种情况下的相等性（当然，在某些情况下我忽略了这种用法）

有更好的办法吗

欢迎评论：）

那么，使用sqrt（2）的近似值是否为左侧和右侧提供了不同的结果？如果是，为什么？对近似值进行平方运算是否会显著降低精度

加法和乘法都有误差近似。乘法是经验的，特别是当它是嵌套的时候

以下不是准确的表述，但有助于理解我的观点：

example of addition:
(float1 * float2 + float3)
float1 * float2 + float3 + mult_approximation + add_approximation

example multiplication
(float1 * (float2 + float3))
(float1 * (float2 + float3 + add_apporiximation)
float1 * (float2 + float3) + add_approximation * float1 + mult_approximation

这是因为像sqrt（x）这样的连续（无限）函数无法在离散（有限）状态机上精确表示。相反，连续函数通过泰勒级数从0到n的展开转换为离散函数，其中n是可以表示的最大数（在本例中为2^32）。因为在计算机上无法求从0到无穷大的和，所以会留下一些剩余误差。可以计算此误差，以便确定离散函数与连续函数的接近程度

有关更多信息和所涉及方程的精确TeX表示：
伙计们，要小心，仅仅依靠绝对差可能会导致问题。它适用于1左右的小数字，小数点足以相差1e-5或你使用的数字。但要考虑较大的数字。它们的数字必须存储在有限的空间（尾数）。并且只存储最重要的数字。这意味着什么？没有空间来存储数字，以允许测量1e-5之类的差异

总而言之，最好同时使用绝对比较和相对比较

bool equal(float a, float b)
{
    if (abs(a - b) < eps)
        return true;
    if (abs(a - b) / max(abs(a), abs(b)) < eps)
        return true;
    return false;
} 

bool相等（浮点a、浮点b）
{
如果（abs（a-b）
在双精度中，
（1+sqrt（2））^2=3+2*sqrt（2）
似乎有效。
请参阅。
令人惊讶的是，如果出于某种原因，您需要非有理数的精确表示（提示：您可能不需要），您可以做一些事情：连分数算术
sqrt(2) = 0x1.6a09e667f3bcd * 2^0

2*sqrt(2) = 0x1.6a09e667f3bcd * 2^1

3 + 2*sqrt(2) = 0x1.7504f333f9de68 * 2^2

3 + 2*sqrt(2) = 0x1.7504f333f9de6 * 2^2

1 + sqrt(2) = 0x1.3504f333f9de68 * 2^1

1 + sqrt(2) = 0x1.3504f333f9de6 * 2^1

(1 + sqrt(2))*(1 + sqrt(2)) = 0x1.7504f333f9de599cacbc97eaa4 * 2^2

(1 + sqrt(2))*(1 + sqrt(2)) = 0x1.7504f333f9de6 * 2^2