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C++ 递归基转换时间复杂度分析

c++ algorithm recursion

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给定整数
p
和目标基
b
，在基
b
中返回
p
的字符串表示形式。字符串的末尾应具有最低有效位

^这就是我给自己的问题

我提出的朴素递归算法（在C++中）如下所示：

string convertIntToBaseRecursive(int number, int base) {
  // Base case
  if (!number) return "";

  // Adding least significant digit to "the rest" computed recursively
  // Could reverse these operations if we wanted the string backwards.
  return convertToBaseRecursive(number / base, base) + to_string(number % base);
}
虽然算法非常简单，但我想确保我理解复杂性分解。下面是我的想法，我想知道它们是正确的，还是错误的，如果它们是错误的，那么知道我偏离了轨道将是很好的

索赔： 
  • n=logb（p）
    是返回字符串的长度
  • 时间复杂度：
    O（n^2）
  • 空间复杂度：
    O（n）
推理： 为了在字符串末尾保留最低有效位，当它是我们计算的值时，我们必须：

  • 按原样递归计算字符串
  • 每次计算一个位时，请保持数组“移位”，以便将最近的位添加到字符串的前面，而不是末尾
  • 将字符串向后写入，并在返回前将其反转（效率最高）

    • 我们在上面的C++算法中做第一个方法，而+/Cuth>操作符在每个栈帧中创建一个新的字符串。初始帧创建并返回长度为

    n
    的字符串，下一帧创建长度为
    n-1
    、
    n-2
    、
    n-3
    的字符串，依此类推。遵循这一趋势（无需证明为什么
    1+2+3…+n=O（n^2）
    ），很明显时间复杂度是
    O（n^2）=O（logb^2（p））
    。我们也只需要在任何时候将
    O（n）
    内容存储在内存中。当原始堆栈帧解析时（就在算法完成之前）我们将以原始字符串的形式拥有内存，但在它解析之前，它将以单个字符（
    O（1）
    ）+递归堆栈帧（
    O（n）
    ）的形式存在。我们在每个级别上存储
    n
    数量的单个字符，直到完成为止。因此，空间复杂度是
    O（n）

    当然，这个解决方案更有效的版本是

    string convertIntToBaseIterative(int number, int base) {
  string retString = "";

  while (number) {
    retString += to_string(number % base);
    number /= base;
  }

  // Only needed if least significant
  reverse(retString.begin(), retString.end());
  return retString;
}
    我相信上述解决方案，其中
    n=logb（p）
    具有：

    • 时间复杂度：
      O（n）
    • 空间复杂度：
      O（n）
    这些分析正确吗？或者我在什么地方出错了吗？

    由于返回值必须包含输出，因此无法获得比
    O（n）
    更好的空间复杂度

    假设输出字符串按顺序由以下数字组成：
    a_1，a_2，a_3，…，a_n
    。在递归方法中，我们创建如下字符串：
    “a_1”+“a_2”+…+“a_n”
    。在迭代方法中，我们做：
    （（（a_1）+a_2）+a_3）++a_n））
    。因此，这两种情况下的时间复杂度在
    O（n^2）
    （在C++03中。有关C++11，请参见下面的注释）处应该是相同的

    如您所见，这两种方法都受到实现细节的严重影响。
    字符串
    类型对于涉及重复连接的操作不是很有用。如果您有一个大小为
    n
    的预分配数组，您可以将复杂性降低到
    O（n）

    注意1:关于追加操作有一些细节。在C++03中，追加操作没有指定的复杂性，并且可能导致在写入时进行复制（如果字符串不能适当扩展并且需要重新定位）。在C++11中，不允许使用CoW和rope样式的实现，追加应该导致每个字符的摊销时间
    O（1）
    。因此，在C++11的情况下，我们应该能够得到两种实现的时间复杂度

    注2：要通过用户定义的字符串实现（包含长度）获得
    O（n）
    时间复杂度，需要在函数中通过引用传递字符串。这将导致函数签名更改为：

    void convertToBaseRecursive(int number, int base, MyString& str)
    如果字符串使用预先分配的数组，此实现将允许共享和就地更新字符串。

    由于返回值必须包含输出，因此无法获得比
    O（n）
    更好的空间复杂度

    假设输出字符串按顺序由以下数字组成：
    a_1、a_2、a_3、…、a_n
    。在递归方法中，我们创建如下字符串：
    “a_1”+“a_2”+…+“a_n”
    。在迭代方法中，我们做：
    （（（…（a_1）+a_2）+a_3）+…+a_n））…）
    。因此，这两种情况下的时间复杂度在
    O（n^2）
    （在C++03中。有关C++11，请参见下面的注释）处应该是相同的

    如您所见，这两种方法都受到实现细节的严重影响。
    字符串
    类型对于涉及重复连接的操作不是很有用。如果您有一个大小为
    n
    的预分配数组，您可以将复杂性降低到
    O（n）

    注意1:关于追加操作有一些细节。在C++03中，追加操作没有指定的复杂性，并且可能导致在写入时进行复制（如果字符串不能适当扩展并且需要重新定位）。在C++11中，不允许使用CoW和rope样式的实现，追加应该导致每个字符的摊销时间
    O（1）
    。因此，在C++11的情况下，我们应该能够得到两种实现的时间复杂度

    注2：要通过用户定义的字符串实现（包含长度）获得
    O（n）
    时间复杂度，需要在函数中通过引用传递字符串。这将导致函数签名更改为：

    void convertToBaseRecursive(int number, int base, MyString& str)
    此实现将允许共享字符串并就地更新，前提是该字符串使用的数组