C++ 如何找到从一个向量到另一个向量的正确旋转？

我有两个对象，每个对象有两个向量：

• 法向量
• 上向量

如图所示：

上方向向量垂直于法向量。现在我想找到从一个物体到另一个物体的唯一旋转，怎么做

我有一种方法可以找到一个向量到另一个向量之间的旋转，它是有效的。问题是我需要考虑两个向量：法向量和上向量。如果我使用这种方法将法向量从对象1旋转到对象2的法向量，上向量可能指向错误的方向，它们需要平行

以下是查找最短旋转的代码：

GE::Quat GE::Quat::fromTo(const Vector3 &v1, const Vector3 &v2)
{
    Vector3 a = Vector3::cross(v1, v2);
    Quat q;

    float dot = Vector3::dot(v1, v2);

    if ( dot >= 1 ) 
    {
        q = Quat(0,0,0,1);

    }
    else if ( dot < -0.999999 )
    {
        Vector3 axis = Vector3::cross(Vector3(1,0,0),v2);

        if (axis.length() == 0) // pick another if colinear
                axis = Vector3::cross(Vector3(0,1,0),v2);
        axis.normalize();
        q = Quat::axisToQuat(axis,180);
    }
    else
    {
        float s = sqrt( (1+dot)*2 );
        float invs = 1 / s;

        Vector3 c = Vector3::cross(v1, v2);

        q.x = c.x * invs;
        q.y = c.y * invs;
        q.z = c.z * invs;
        q.w = s * 0.5f;
    }
    q.normalize();
    return q;
}

GE:：Quat GE:：Quat:：fromTo（常量向量3和v1，常量向量3和v2）
{
向量3 a=向量3：：交叉（v1，v2）；
quatq；
浮点点=矢量3：：点（v1，v2）；
如果（点>=1）
{
q=Quat（0,0,0,1）；
}
否则如果（dot<-0.999999）
{
向量3轴=向量3：：交叉（向量3（1,0,0），v2）；
if（axis.length（）==0）//选择另一个if共线
轴=向量3：：交叉（向量3（0,1,0），v2）；
axis.normalize（）；
q=Quat:：axisToQuat（轴，180）；
}
其他的
{
浮点数s=sqrt（（1+点）*2）；
浮动库存=1/s；
向量3 c=向量3：：交叉（v1，v2）；
q、 x=c.x*invs；
q、 y=c.y*invs；
q、 z=c.z*invs；
q、 w=s*0.5f；
}
q、 规范化（）；
返回q；
}

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为了找到正确的旋转方向，我应该对该代码进行哪些更改/添加？

在开始之前，我将假设上向量和法向量都是标准化的和正交的（点积为零）

假设您希望旋转黄色盘子，使其与玫瑰色（红色？）盘子对齐。所以，我们的参考是来自黄色板块的向量，我们将坐标系称为XYZ，其中Z->法线黄色向量，Y->向上黄色向量和X->YxZ（叉积）

同样，对于玫瑰盘，旋转坐标系将被称为X'Y'Z'，其中Z'->法向玫瑰矢量，Y'->向上玫瑰矢量和X'->Y'xZ'（叉积）

好的，为了找到旋转矩阵，我们只需要确保我们的法向黄色向量将成为法向玫瑰向量；我们的向上黄色向量将在向上玫瑰向量中变换，以此类推，即：

RyellowTOrose = |X'x   Y'x   Z'x|
                |X'y   Y'y   Z'y|
                |X'z   Y'z   Z'z|

换句话说，在将任何基本体转换为黄色系统的坐标后，应用此转换将旋转它，使其与玫瑰坐标系对齐

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如果上方向向量和法向量不正交，可以很容易地纠正其中一个。只需在法线和法线之间做叉积（为了方便起见，生成一个称为C的向量），然后再做一次C和法线之间的叉积，以纠正上向量。

首先，我声明只有一个这样的变换可以对齐两个对象的方向。所以我们不必担心找到最短的

将要旋转的对象称为

a

，并将保持静止的对象称为

b

。设

x

和

y

分别为

a

的法向量和上向量，同样地，设

u

和

v

为

b

的向量。我将假定

x

，

y

，

u

和

v

是单位长度，也就是说

x

与

y

正交，

u

与

v

正交。如果其中任何一个不是这样，可以编写案例代码来纠正这一点（通过平面投影和标准化）

现在，让我们构造定义“世界空间”的矩阵，即

a

和

b

的方向。（让

^

表示叉积）将

z

构造为

x^y

，将

c

构造为

a^b

。将

x

，

y

，

z

和

a

，

b

，

c

写入每个矩阵的列，我们就得到了这两个矩阵，分别称它们为

a

和

b

。（这里的叉积给出了单位长度和相互正交的向量，因为操作数也是如此）

根据

A

获得

B

的坐标系变换的变化是

A^-1

（矩阵

A

的逆，其中

^

表示指数的泛化），在这种情况下

A^-1

可计算为

A^T

，转置，因为

A

是构造的正交矩阵。然后到

B

的物理转换就是矩阵

B

本身。因此，通过

A^-1

，然后通过

B

变换对象将得到所需的结果。但是，通过将右侧的

B

乘以左侧的

A^-1

，可以将这些转换连接为一个转换

最终得到该矩阵（假设没有算术错误）：

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四元数代码只将一个矢量旋转到另一个矢量，而不使用“向上”矢量

在您的例子中，只需从3个正交向量构建旋转矩阵

归一化（单位）方向向量

归一化（单位）上向量

方向向量和上方向向量的叉积 在两种情况下，R1和R2矩阵（3x3）表示对象的旋转

要找到从R1到R2的旋转，只需执行以下操作

 R1_to_R2 = R2 * R1.inversed()

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矩阵R1到R2是从一个方向到另一个方向的变换矩阵。注意：这里的R1.inversed（）可以替换为R1.transposed（）

如果这是一个愚蠢的问题，很抱歉，但是“最短旋转”和“唯一旋转”之间的区别是什么？也许我没有说清楚，很抱歉。我只想把法向量旋转到另一个法向量，但上方向向量也必须是正确的。如果我使用这个方法，

 R1_to_R2 = R2 * R1.inversed()