Function 在相对于弧长的恒定速度下计算函数

我正在实现一个实时图形引擎（C++/OpenGL），它可以沿着多项式函数描述的指定路线随时间移动车辆。函数本身是在应用程序之外以编程方式生成的，并且是高阶的（我相信>25），所以我不能在这里发布它（我认为它并不重要）。在运行期间，函数不会改变，因此很容易计算一次一阶导数和二阶导数，以便以后快速使用

我的问题是，我必须以恒定的速度（比如10个单位/秒）沿着曲线移动，因此我的函数参数不直接等于时间，因为两点x1和x2之间的弧长取决于函数值而不同。例如，差值f（a+1）-f（a）可能比f（b+1）-f（b）大或小，这取决于函数在点a和点b上的外观

我不需要100%的精确解，因为运动只是视觉上的，不会被进一步处理，所以任何近似都可以。另外，请记住，整个过程必须在运行时每帧（60fps）计算一次，因此，根据计算时间的不同，用复杂的数学解决庞大的方程可能是不可能的

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我有点不知道从哪里开始，所以即使是任何想法都将受到高度赞赏

给定恒定的速度和帧间时间，可以计算帧间所需的弧长。因此，以下函数应完成此工作：

#include <cmath>
typedef double (*Function)(double);

double moveOnArc(Function f, const double xStart, const double desiredArcLength, const double dx = 1e-2)
{
  double arcLength = 0.;
  double fPrev = f(xStart);
  double x = xStart;
  double dx2 = dx*dx;
  while (arcLength < desiredArcLength)
  {
    x += dx;
    double fx = f(x);
    double dfx = fx - fPrev;
    arcLength += sqrt(dx2 + dfx*dfx);
    fPrev = fx;
  }
  return x;
}

#包括
typedef double（*函数）（双精度）；
double moveOnArc（函数f，常数double xStart，常数double desiredArcLength，常数double dx=1e-2）
{
双弧长=0。；
双fPrev=f（xStart）；
双x=xStart；
双dx2=dx*dx；
而（弧长<所需弧长）
{
x+=dx；
双fx=f（x）；
双dfx=fx-fPrev；
弧长+=sqrt（dx2+dfx*dfx）；
fPrev=外汇；
}
返回x；
}

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由于您说准确度不是首要标准，因此选择适当的

dx

上述功能可能会立即起作用。当然，可以通过自动调整dx（例如基于二阶导数）或通过二元搜索细化端点来改进。因为标准不是要有精确的解，而是视觉上吸引人的近似值，所以有多种可能的解决方案可以尝试

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我实施的第一个方法（由Alnitak在评论中建议，随后由coproc回答），通过微小迭代近似实际弧长积分。这个版本在大多数情况下运行得非常好，但在非常陡峭的角度下不可靠，在平坦的角度下使用了太多的迭代。正如coproc在回答中已经指出的，一个可能的解决方案是将dx基于二阶导数

所有这些调整都可以进行，但是，我需要一个运行时友好的算法。有了这个，很难预测迭代的次数，这就是为什么我对它不满意的原因

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第二种方法（同样受Alnitak启发）利用一阶导数，沿计算的坡度“推动”车辆（等于当前x值的导数）。计算下一个x值的函数非常紧凑和快速。视觉上没有明显的误差，结果总是一致的。（这就是我选择它的原因）

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然而，这种方法可能只适用于高帧时间（我的帧时间大于60fps）的情况，因为物体总是沿着一条长度取决于所述帧时间的直线推动。

你知道任何演算吗？需要移动车辆的角度是多项式的第一个微分。另请参见“谢谢！”！我会尝试那种方法。不过，我可能不得不稍微调整一下，因为linked math.stackexchange页面中的人似乎对sqrt的精度和小数字有问题（我在这里也处理小数字）你给我的另一个想法是，我可以试着根据一阶导数来设定物体的旋转，然后沿着一个有一定长度的直线向量推动它。（然而这可能会让我更加不精确）FWIW，我可能会使用一阶导数来计算运动向量的

dx

和

dy

分量，然后将得到的

x+dx

插入原始多项式，以确保结果点最终位于曲线上。（基于该曲线上坐标的精度比速度的严格精度更重要而工作）

float current_x = ...; //stores current x
float f(x) {...}
float f_derv(x) {...}

void calc_next_x(float units_per_second, float time_delta) {
  float arc_length = units_per_second * time_delta;
  float derv_squared = f_derv(current_x) * f_derv(current_x);
  current_x += arc_length / sqrt(derv_squared + 1);
}