Math 朱莉娅：是否可以用isposdef（）来确定一个矩阵是否可以通过Cholesky分解来分解？

我试图在Julia中使用isposdef（）作为一种先验方法来测试矩阵是否可以通过cholesky分解分解

看起来isposdef并不总是起作用。我用错了吗

例如：

D = [5, 8]
V = [1 2; 3 4]
A = V*diagm(D)*inv(V)
println(eig(A))
println(isposdef(A))

这里我创建了一个矩阵a，其正特征值在D中给出。我们看到eig（a）同意它们是正的。但是，Isposdef（）返回false。我错过什么了吗

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谢谢

如果矩阵a有cholesky分解，那么a可以写成a=LL^T（如果a=QDQ^T和特征值都是正的，这是可行的，其中L=QD^0.5），这意味着矩阵应该是正定的（这也包括对称性）

从您的示例中，对于矩阵A=VDinv（V），您选择的特征向量V的矩阵不是正交的。因此，对于cholesky分解，不能从A=VDinv（V）到上面的形式

至于您的主要问题，由于正定性是cholesky分解存在的充要条件，因此可以使用isposdef（）检查是否存在cholesky分解

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PS：请看马克·迪金森在问题下的评论，以便进行更一般性的讨论。

正定的概念适用于对称（或厄米）矩阵。你的矩阵A不是对称的。啊，你是对的。特征值为正是不够的。奇怪的在课堂上，教授们总是说“对称正定”，而显然“正定”就足够了。好吧，定义（vAv^T>0表示所有非零v）仍然可以应用于任意平方实矩阵，但是（a）关于正特征值的定理在这种普遍性中不再成立，以及（b）扩展的定义没有那么有趣：一般的方阵a是正定的当且仅当其对称部分（（a+a^t）/2）是正定的。但是在这个广义的意义上（这可能是Julia所使用的），你的矩阵不是正定的-对称部分的特征值是17.1。。。和-4.1。。。因此，Julia在这里给出了正确的结果。更新：从测试和查看源代码来看，Julia的

isposdef

包含了一个明确的对称性测试。我认为这是一个很好的问题（从投票结果来看，显然至少有两个人也这样做）；我看不出有什么特别的理由要删除它。我真的应该花点时间把我的评论写进一个答案，如果没有人能比我抢先一步的话，这可能会发生。