Haskell fmap的自由定理

考虑以下包装器：

newtype F a = Wrap { unwrap :: Int }

我想反驳（作为一个绕过头的练习）有一个合法的

函子F

实例，它允许我们将

Int->Int

类型的函数应用于实际内容，并~ignore~所有其他函数（即

fmap nonitint=id

）

我认为这应该通过

fmap

的自由定理来实现（我读过）： 对于给定的

f

、

g

、

h

和

k

，例如

g。f=k。h

：

$map g。fmap f=fmap k$map h

，其中

$map

是给定构造函数的自然贴图

什么定义了自然地图？对于

F

，我假设它是一个简单的

flip const

对吗

据我所知：

$mapf

就是我们在范畴理论中所说的

Ff

。因此，从明确的意义上讲，我们只是希望在下图中的几行中有一些东西可以通勤：

然而，我不知道用什么来代替

？

s（也就是说，我们应用什么函子来得到这样一个图，以及我们如何表示这个几乎-

fmap

？）

那么，一般来说，什么是自然地图，对于

F

？

fmap

的自由定理的正确图解是什么

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我带着这个去哪里？ 考虑：

f = const 42
g = id

h    = const ()
k () = 42

很容易看出

f。g

是

h。k

。然而，不存在的

fmap

将只执行

f

，而不是

k

，从而产生不同的结果。如果我对自然性的直觉是正确的，那么这样的证明就行了。这就是我想弄明白的

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提出了一个更简单的证明：

fmap show。与
fmap$show不同，fmap（+1）
更改内容。（+1）

。这是一个很好的证明，但我仍然想用自由定理作为练习。

因此我们正在为所有a b提供函数

m:：的娱乐。（a->b）->F a->F b

这样（除其他外）

这里有两个有点相关的问题

行为良好的

fmap

能做到这一点吗

参数化函数可以做到这一点吗

这两个问题的答案都是“不”

行为良好的

fmap

无法做到这一点，因为

fmap

必须遵守

函子的公理。我们的环境是否是参数化的并不重要。
函子的公理说，对于所有函数
a
和
b
，
fmap（a.b）=fmap a。fmap b
必须保持，并且对于
a=show
和
b=（1+）
，此操作失败。所以
m
不能是一个行为良好的
fmap

参数函数不能这样做，因为这就是参数定理所说的。当将类型视为术语之间的关系时，相关函数将相关参数视为相关结果。很容易看出
m
不符合参数化，但查看
m'：对于所有a和b稍微容易一些。（a->b）->（Int->Int）
（这两者可以简单地相互转换）
（1+）
与
show
相关，因为
m'
的参数是多态的，所以参数的不同值可以通过任何关系关联。函数是关系，存在一个函数，它将
（1+）
发送到
显示
。但是，
m'
的结果类型没有类型变量，因此它对应于常量关系（其值仅与自身相关）。由于包括
m'
在内的每个值都与自身相关，因此所有参数函数
m:：对于所有a b。（a->b）->（Int->Int）
必须遵守
mf=mg
，即必须忽略第一个参数。这在直觉上是显而易见的，因为没有什么可以应用它

事实上，通过观察行为良好的
fmap
必须是参数化的，可以从第二个语句推断出第一个语句。因此，即使该语言允许非参数化，
fmap
也不能对其进行任何不寻常的使用。
我看不出这种自然地图的东西将走向何方。您只需要为您描述的函子实例显示一个反例，
fmap f。fmap g≠ fmap（f.g）
。这很容易。如何编写一个区分
f:：Int->Int
和
f
的所有其他函数类型的
fmap f（Wrap x）
。因此，我们采用
g=（+1）
和
f=show
，因此
fmap（f.g）
不会改变内容，这与
fmap f不同。fmap g
。谢谢，但我仍然想用自由定理来做这件事，正如我在文章中提到的，这只是一个练习，用自由定理来理解整个事情：）。另外，如果我对自然性的理解是正确的，那么使用无自由度定理的证明就不难了：请考虑<代码> f= const 42 ，<代码> g= id < /c>，<代码> h＝const（）/<代码>和<代码> k~（）＝42 < /代码>。我将把这两个证明都添加到帖子中。@Michhawiedenmann one不能，这就是我们试图正式证明的：）。
const 42
有类型
Int->Int
，也有类型
（）->Int
和任何类型
a->Int
，适用于所有类型
a
。
fmap（const 42）（Wrap 0）
应该是什么？啊哈，所以，总而言之，我试图通过类别来实现这一点是错误的，因为类别理论不需要参数（请参见你在主帖子下的评论）。正确的方法是考虑这个代码<代码> fmap <代码>是箭头的函数映射，并显示<代码> fmap（a，b）＝fmap a。fmap b
法律不成立。我是否正确描述了我的错误？@ZhiltsoffIgor事实上，
fmap
似乎需要参数，因为
fmap（f.g）=fmap f。fmap g
严格比
m (1 +)    (Wrap x) = (Wrap (1+x))
m (show)   (Wrap x) = (Wrap x)