在Java中验证点是否是二次Bezier曲线的一部分

我想验证一个点是否是由点p0、p1和p2定义的二次贝塞尔曲线的一部分

这是我的函数，用于获得曲线中具有特定t的点：

public static final Point quadratic (Point p0, Point p1, Point p2, double t) {
    double x = Math.pow(1-t, 2) * p0.x + 2 * (1-t) * t * p1.x + Math.pow(t, 2) * p2.x;
    double y = Math.pow(1-t, 2) * p0.y + 2 * (1-t) * t * p1.y + Math.pow(t, 2) * p2.y;

    return new Point((int)x, (int)y);
}

考虑到二次曲线中的点Bt如下所示：

Bt=1-t^2*p0+2*t*1-t*p1+t^2*p2

我应该通过获取点的t值并将其与使用t参数获得的点进行比较来验证点p是否属于曲线，但在Java中，变量的精度存在问题

我验证点的功能如下：

public static final boolean belongsQuadratic (Point p, Point p0, Point p1, Point p2) {
    double[] tx = obtainTs(p.x, p0, p1, p2);
    double[] ty = obtainTs(p.y, p0, p1, p2);

    if (tx[0] >= 0) {
        if ((tx[0] >= ty[0] - ERROR && tx[0] <= ty[0] + ERROR) || (tx[0] >= ty[1] - ERROR && tx[0] <= ty[1] + ERROR)) {
            return true;
        }
    }

    if (tx[1] >= 0) {
        if ((tx[1] >= ty[0] - ERROR && tx[1] <= ty[0] + ERROR) || (tx[1] >= ty[1] - ERROR && tx[1] <= ty[1] + ERROR)) {
            return true;
        }
}


    return false;
}

public static double[] obtainTs (int comp, Point p0, Point p1, Point p2) {
    double a = p0.x - 2*p1.x + p2.x;
    double b = 2*p1.x - 2*p0.x ;
    double c = p0.x - comp;

    double t1 = (-b + Math.sqrt(b*b - 4*a*c)) / (2*a);
    double t2 = (-b - Math.sqrt(b*b - 4*a*c)) / (2*a);

    return new double[] {t1, t2};
}

我获得以下输出：

For t=0.10000000149011612, java.awt.Point[x=316,y=434]
For t1: -0.1118033988749895, java.awt.Point[x=316,y=536]
For t2: 0.1118033988749895, java.awt.Point[x=316,y=429]
java.awt.Point[x=316,y=434] belongs?: false

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我应该使用BigDecimal来执行这些操作吗？有没有其他方法来验证这一点？谢谢这里有一个错误：

double[] ty = obtainTs(p.y, p0, p1, p2);

因为obtainTs使用p0、p1、p2的x坐标来查找 p的y坐标

如果将方法参数更改为int，可以是点的x坐标或y坐标：

public static double[] obtainTs (int comp, int p0, int p1, int p2) {
    double a = p0 - 2*p1 + p2;
    double b = 2*p1 - 2*p0 ;
    double c = p0 - comp;

    double t1 = (-b + Math.sqrt(b*b - 4*a*c)) / (2*a);
    double t2 = (-b - Math.sqrt(b*b - 4*a*c)) / (2*a);

    return new double[] {t1, t2};
}

叫它

double[] tx = obtainTs(p.x, p0.x, p1.x, p2.x);
double[] ty = obtainTs(p.y, p0.y, p1.y, p2.y);

然后测试代码将返回true tested，错误=0.02

注意，如果你写下方程式

B(t) = (1 - t)^2 * p0 + 2 * t * (1 - t) * p1 + t^2 * p2

对于x坐标和y坐标，则可以消除t^2项，得到一个 t的线性方程。这就给出了下面的方法，可能稍微简单一些 并且不使用平方根：

public static final boolean belongsQuadratic2 (Point p, Point p0, Point p1, Point p2) {
    double ax = p0.x - 2*p1.x + p2.x;
    double bx = 2*p1.x - 2*p0.x ;
    double cx = p0.x - p.x;

    double ay = p0.y - 2*p1.y + p2.y;
    double by = 2*p1.y - 2*p0.y ;
    double cy = p0.y - p.y;

    // "Candidate" for t:
    double t = -(cx*ay - cy*ax)/(bx*ay - by*ax);
    if (t < 0 || t > 1)
        return false;
    // Compute the point corresponding to this candidate value ...
    Point q = Bezier.quadratic(p0, p1, p2, t);
    // ... and check if it is near the given point p:
    return Math.abs(q.x - p.x) <= 1 && Math.abs(q.y - p.y) <= 1;
}

当然，必须检查特殊情况，例如bx*ay-by*ax==0

还要注意的是，很难准确确定点是否位于曲线上，因为

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点坐标四舍五入为整数

这里有一个错误：

double[] ty = obtainTs(p.y, p0, p1, p2);

因为obtainTs使用p0、p1、p2的x坐标来查找 p的y坐标

如果将方法参数更改为int，可以是点的x坐标或y坐标：

public static double[] obtainTs (int comp, int p0, int p1, int p2) {
    double a = p0 - 2*p1 + p2;
    double b = 2*p1 - 2*p0 ;
    double c = p0 - comp;

    double t1 = (-b + Math.sqrt(b*b - 4*a*c)) / (2*a);
    double t2 = (-b - Math.sqrt(b*b - 4*a*c)) / (2*a);

    return new double[] {t1, t2};
}

叫它

double[] tx = obtainTs(p.x, p0.x, p1.x, p2.x);
double[] ty = obtainTs(p.y, p0.y, p1.y, p2.y);

然后测试代码将返回true tested，错误=0.02

注意，如果你写下方程式

B(t) = (1 - t)^2 * p0 + 2 * t * (1 - t) * p1 + t^2 * p2

对于x坐标和y坐标，则可以消除t^2项，得到一个 t的线性方程。这就给出了下面的方法，可能稍微简单一些 并且不使用平方根：

public static final boolean belongsQuadratic2 (Point p, Point p0, Point p1, Point p2) {
    double ax = p0.x - 2*p1.x + p2.x;
    double bx = 2*p1.x - 2*p0.x ;
    double cx = p0.x - p.x;

    double ay = p0.y - 2*p1.y + p2.y;
    double by = 2*p1.y - 2*p0.y ;
    double cy = p0.y - p.y;

    // "Candidate" for t:
    double t = -(cx*ay - cy*ax)/(bx*ay - by*ax);
    if (t < 0 || t > 1)
        return false;
    // Compute the point corresponding to this candidate value ...
    Point q = Bezier.quadratic(p0, p1, p2, t);
    // ... and check if it is near the given point p:
    return Math.abs(q.x - p.x) <= 1 && Math.abs(q.y - p.y) <= 1;
}

当然，必须检查特殊情况，例如bx*ay-by*ax==0

还要注意的是，很难准确确定点是否位于曲线上，因为

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点坐标四舍五入为整数

作为一个替代答案，为了避免Martin R指出的问题，您可以简单地构建一个查找表，并通过这种方式将坐标解析为曲线上的坐标。构建曲线时，为增量t值生成一个N点坐标数组，然后当需要测试坐标是否位于曲线上时，通过检查该坐标是否在查找表中，或是否足够接近查找表中的坐标，找到距离该坐标最近的t值。代码：

point[] points = new point[100];
for(i=0; i<100; i++) {
  t = i/100;
  points[i] = new point(computeX(t), computeY(t));
}

然后，当您需要曲线测试时：

for(i=0; i<points.length; i++) {
  point = points[i];
  if(abs(point-coordinate)<3) {
    // close enough to the curve to count,
    // so we can use t value map(i,0,100,0,1)
  }
}

---

构建LUT的成本几乎为零，因为为了绘制曲线，我们已经生成了这些t坐标值，并且如果不首先确保坐标在曲线的边界框中，就不会运行曲线上的测试。

作为替代答案，为了避免Martin R指出的问题，您可以简单地构建一个查找表，并通过这种方式将坐标解析为曲线上的坐标。构建曲线时，为增量t值生成一个N点坐标数组，然后当需要测试坐标是否位于曲线上时，通过检查该坐标是否在查找表中，或是否足够接近查找表中的坐标，找到距离该坐标最近的t值。代码：

point[] points = new point[100];
for(i=0; i<100; i++) {
  t = i/100;
  points[i] = new point(computeX(t), computeY(t));
}

然后，当您需要曲线测试时：

for(i=0; i<points.length; i++) {
  point = points[i];
  if(abs(point-coordinate)<3) {
    // close enough to the curve to count,
    // so we can use t value map(i,0,100,0,1)
  }
}

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构建LUT的成本几乎为零，因为我们已经生成了这些t坐标值，以便绘制曲线，如果不先确保坐标在曲线的边界框中是均匀的，你就不能运行曲线测试。

你不能使用Graphics2D包来使用CubicCurve2D方法吗？@Sebastian在我的问题中，我使用的是二次函数，Cubic不起作用。。nachokk我将尝试一下BigDecimal，thanksany二次曲线完美地表示为三次曲线。如果你的二次曲线有点{p1，p2，p3}，那么三次等价完美等价使用{p1，p1+2*p2/3，2*p2+p3/3，p3}。不要重新发明轮子=你不能使用Graphics2D软件包来使用CubicCurve2D方法吗？@Sebastian在我的问题中，我使用的是二次函数，立方函数不起作用。。nachokk我将尝试一下BigDecimal，thanksany二次曲线完美地表示为三次曲线。如果你的二次曲线有点{p1，p2，p3}，那么三次等价完美等价使用{p1，p1+2*p2/3，2*p2+p3/3，p3}。不要重新发明轮子=谢谢@Martin！我喜欢你的没有平方根的方法，我会尝试一下：谢谢@Martin！我喜欢你没有平方根的方法 不要尝试：