Julia中二阶常微分方程的不稳定性

我想数值求解一个二阶常微分方程（见下面的第一个方程），它依赖于相对简单的函数（g，g'/g和f/g是cos，sine，cosh，sinh的叠加）。主要问题是这些函数依赖于函数α（例如cos（alpha*phi）），并且只知道其导数（参见下面的第二个等式，σ和d是固定的）

这显然很难解决，所以我首先尝试了更简单的方法，设置alpha=phi²。我的代码返回警告

警告：自动dt将启动dt设置为NaN，导致不稳定。

后接

警告：检测到NaN dt。可能是状态、参数或派生值中的NaN值导致了此结果。

代码运行，但绘制解决方案时会出现错误

ArgumentError:不允许对空集合进行缩减

，我认为这表明我的解决方案为空

我发现了一个类似的问题，其中出现错误是因为参数给出了发散的解决方案，但在我的例子中，ODE中的所有函数都在感兴趣的区间（-5,5）上定义得很好，所以我怀疑这是我的情况。那么，我有三个问题：

如何知道NaN值的确切位置？

如何避免此错误？

有没有办法将完整表达式（d alpha/d phi）实现到积分器中？

非常感谢

编辑：根据@Lutz Lehmann的评论，我试图减少二阶常微分方程并同时求解三个方程，但Julia告诉我

未定义错误：α未定义

，尽管我明确将其定义为第三个方程。我做错了什么

EDIT2:正确重命名函数后，错误消失。但是，我收到了与以前相同的警告和错误，添加了

Warning:First function call-producted-NaNs。正在退出。

首先

EDIT3：我现在已经编写了dα的表达式，这是一种更简单的方法，并更正了代码中的两个错误（由@Lutz Lehmann指出的符号和缺少的右括号）。在给α和a'一个小的非零初始值之后，我可以看到解在时间φ>2.12时爆炸，所以我猜问题就在那里

EDIT4：我现在离问题的根源更近了，但我不知道如何进一步。我已经试着去看dα/dа方程中哪些项有问题，似乎sinh和cosh项出现了不稳定性。例如，尝试解算

dα/dñ=2d*sinh（s2*α*ñ）

会立即扰乱解算器，并返回

警告：检测到不稳定。正在中止

。但是朱莉娅应该能解决这个问题，那么我还缺什么呢

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为什么不把alpha方程和A的方程一起解呢？为3个组件建立一个一阶系统，并使用通用IVP解算器。我不确定你所说的“3个组件”是什么意思。你是说我应该把二阶常微分方程分解成一阶方程？是的，就是这样。您可以自动获得α的正确值，无需进行任何进一步的假设。（继续使用α而不是u[3]来更接近公式）（（文本标记中的代码使用单引号，三引号代码围栏仅适用于段落。我相信它们在注释中不起作用。））这是针对

g

函数内部的。这些都应该是

g（α，φ）

，然后用

α

替换所有

α（φ）

。另一种策略是使用密集输出单独求解第三个方程，然后使用密集输出插值函数获得

α（ν）

的值。符号错误在

du[2]

中，不应有加号。你能计算一下ODE函数在初始点的结果，看看是否有不规则的地方吗？

using DifferentialEquations
using Plots

const global lp=1.               
const global s2=81.
const global  d=-9.0e-4
const global B=1.    # Parameter in the gaussian f(\phi) defined below
const global β =1.   # Parameter in the gaussian f(\phi) defined below
const global k=1.    # Wave number           

@variables α,ϕ

# Useful functions
#α(ϕ) = ϕ^2 
 
g1(α,ϕ) = s2^2*α^2*sinh(s2*α*ϕ)*sin(2d*α)
g2(α,ϕ) = cos(2d*α)+cosh(s2*α*ϕ)
g3(α,ϕ) = -α*s2*sin(2d*α)+2d*cos(2d*α)+2d*cosh(s2*α*ϕ)
g(α,ϕ) = exp(-2α)*g3(α,ϕ)/g2(α,ϕ)/2/lp
dgg(α,ϕ) = g1(α,ϕ)/g2(α,ϕ)/g3(α,ϕ) # Derivative of g over g

f1(α,ϕ) = -4B*lp*exp(2α)*ϕ*exp(-ϕ^2/β^2)/β^2
f2(α,ϕ) = cos(2d*α)+cosh(s2*α*ϕ)
f3(α,ϕ) = -α*s2*sin(2d*α)+2d*cos(2d*α)+2d*cosh(s2*α*ϕ)
dfg(α,ϕ) = f1(α,ϕ)*f2(α,ϕ)/f3(α,ϕ) # Derivative of f over g

α1(α,ϕ) = ϕ*s2*sin(2d*α)+2d*sinh(s2*α*ϕ)

function eom(du,u,p,ϕ)
    α = u[1]
    A = u[2]
    dA = u[3]
    du[1] = α1(α,ϕ)/g3(α,ϕ)
    du[2] = dA
    du[3] = -2*dgg(α,ϕ)*dA-2*dfg(α,ϕ)*dA-k^2*A/g(α,ϕ)
end 
A₀ = [0.1,0.,0.1]               # initial state vector
tspan = (-5.0,5.0)                  # time interval
prob = ODEProblem(eom,A₀,tspan)
sol = solve(prob,Tsit5())
plot(sol)

# Full solution to implement in the future
# dαdϕ1(ϕ) = ϕ*s2*sin(2d*α)+2d*sinh(s2*α*ϕ)
# dαdϕ(ϕ) = dαdϕ1(ϕ)/g3(ϕ) 

# Original problem
# function eom(ddu,du,u,p,ϕ)
#     ddu[1] = -2dgg(ϕ)*du[1]-2dfg(ϕ)*du[1]-k^2*u[1]/g(ϕ)
# end
# u0 = [0.]                  # initial state vector
# du0 = [0.]
# tspan = (-5.0,5.0)                  # time interval
# prob = SecondOrderODEProblem(eom,du0,u0,tspan)
# sol = solve(prob,Tsit5())
# plot(sol)