Math 如何找到10个指数分布的值，它们的总和为x

我有一个值，例如2.8。我想找到10个指数曲线上的数字，和这个值相加

也就是说，我想得到10个数字，它们的总和为2.8，当绘制出来时，看起来像指数衰减下的曲线。这10个数字应沿曲线等距分布-即，值之间的“x步”应为常数

这个2.8的值将由用户输入，因此我计算它的方法需要某种算法，我可以编程，因此在Math.SE上提问

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我根本不知道从哪里开始——有什么想法吗？

你想让10个x值平均分布，即x_k=a+k*b。他们应满足sumexp-x_k=v，v为您的目标值2.8。这意味着exp-a*sumexp-b^k=v

显然，如果v是正的，那么b的每一个选择都有一个解。将b设置为任意值，然后从中计算a

例如，对于v=2.8和b=0.1，得到a=-logv/sumexp-b^k=-log2.8/sum0.90484^k=-log2.8/6.6425=-log0.421526=0.86387

因此，对于本例，x值为0.86387、0.96387、…、1.76387，y值为0.421526、0.381412、0.345116、0.312274、0.282557、0.255668、0.231338、0.209324、0.189404、0.171380

更新：

正如已经澄清的那样，曲线可以任意缩放，xs优选为1、2、3。。。这要简单得多

假设曲线函数是r*exp-x，那么10个值将是r*exp-1。。。r*exp-9。它们的总和是r*sumexp-x=r*0.58190489。因此，要达到某个值2.8，只需相应地调整r：

r=2.8/sumexp-x=4.81178294

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然后得到10个值：1.770156，0.651204，0.239565，0.088131，0.032422，0.011927，0.004388，0.001614，0.000594。

你想让10个值均匀分布，即x_k=a+k*b。他们应满足sumexp-x_k=v，v为您的目标值2.8。这意味着exp-a*sumexp-b^k=v

显然，如果v是正的，那么b的每一个选择都有一个解。将b设置为任意值，然后从中计算a

例如，对于v=2.8和b=0.1，得到a=-logv/sumexp-b^k=-log2.8/sum0.90484^k=-log2.8/6.6425=-log0.421526=0.86387

因此，对于本例，x值为0.86387、0.96387、…、1.76387，y值为0.421526、0.381412、0.345116、0.312274、0.282557、0.255668、0.231338、0.209324、0.189404、0.171380

更新：

正如已经澄清的那样，曲线可以任意缩放，xs优选为1、2、3。。。这要简单得多

假设曲线函数是r*exp-x，那么10个值将是r*exp-1。。。r*exp-9。它们的总和是r*sumexp-x=r*0.58190489。因此，要达到某个值2.8，只需相应地调整r：

r=2.8/sumexp-x=4.81178294

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得到10个值：1.770156，0.651204，0.239565，0.088131，0.032422，0.011927，0.004388，0.001614，0.000594。

如果我正确理解你的问题，那么你想找到解方程的x

这可以通过以下方式解决：

只是和数作几何级数

RootOf下的方程总是有1个实平方，与2.8或任何其他正数的1不同。您可以使用某种算法来解决它，1始终是根，但它不会解决原始任务。对于常数a，你可以选择任何你喜欢的数字

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计算完x后，你可以很容易地计算出10个数字。

如果我正确理解了你的问题，那么你想找到解方程的x

这可以通过以下方式解决：

只是和数作几何级数

RootOf下的方程总是有1个实平方，与2.8或任何其他正数的1不同。您可以使用某种算法来解决它，1始终是根，但它不会解决原始任务。对于常数a，你可以选择任何你喜欢的数字

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在计算完x之后，你可以很容易地计算出10个数字。

我将进行推广，并假设你想要N个数字和V相加

因为你们的数字在指数上是等距的，所以你们可以把你们的和写成

a + a*x + a*x^2 + ... + a*x^(N-1) = V

其中，第一个点的值为a，第二个点的值为a*x，以此类推

你可以取a的一个因子，得到：

如果我们可以自由选择x，那么我们就可以很容易地解出a

a = V / ( 1 + x + x^2 + .. x^(N-1) ) 
  = V*(x+1)/(x^N-1)

将其替换为

a, a*x, a*x^2, ..., a*x^(N-1) 

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给出了所需的序列，我将进行推广，并假设您希望N个数字求和为V

因为你们的数字在指数上是等距的，所以你们可以把你们的和写成

a + a*x + a*x^2 + ... + a*x^(N-1) = V

其中，第一个点的值为a，第二个点的值为a*x，以此类推

你可以取a的一个因子，得到：

如果我们可以自由选择x，那么我们就可以很容易地解出a

a = V / ( 1 + x + x^2 + .. x^(N-1) ) 
  = V*(x+1)/(x^N-1)

将其替换为

a, a*x, a*x^2, ..., a*x^(N-1) 

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给出所需的顺序

如何在图形上绘制数字？一个图形由成对的数字组成，而不仅仅是麻木的数字

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呃。你的y值是10个数字，但是x值是什么？理想情况下，我想用1到10的x值来做这个。这有帮助吗？@robintw：对于给定的x值，y值已经固定了e^-1，e^-2，…，没有？或者你能缩放曲线吗？在这种情况下，你的问题将是微不足道的。@undur_gongor-如果有帮助的话，我可以缩放曲线。你如何在图形上绘制数字？图形由数对组成，而不仅仅是数。你的y值是10个数字，但是x值是什么？理想情况下，我想用1到10的x值来做这个。这有帮助吗？@robintw：对于给定的x值，y值已经固定了e^-1，e^-2，…，没有？或者你能缩放曲线吗？在这种情况下，您的问题将是微不足道的。@undur_gongor-如果有帮助的话，我可以缩放曲线。