Math 高阶偏微分方程

我试图用固定边界值（扩展的Fisher-Kolmogorov-EFK）解一个六阶非线性偏微分方程（1D）。FTCS失败后，下一次尝试是使用例如LSODE的MoL（空间中心或FEM）

如何实现这一点？目前正在使用Python/C+OpenMP，但需要一些指针 要有效地做到这一点

附加第六级条款的EFK：

u_t = d u_6x - g u_4x + u_xx + u-u^3

其中d，g是实系数

u（x，0）=exp（-x^2/16）， ux=边界上的0

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域是[0300]，dx所有像这样的PDE解决方案最终都会在程序中使用线性代数来表示，所以诀窍是在开始编码之前找出如何将PDE转换成这种形式

有限元方法通常从加权残数法开始。非线性方程需要线性近似和牛顿-拉斐逊等迭代方法。我建议你从那里开始

您的解决方案是暂时的，因此您必须执行时间步进。您可以使用显式方法并适应稳定极限要求的小时间步，也可以使用隐式方法，这将迫使您在每一步进行矩阵求逆

我会先对线性部分进行傅里叶分析，以了解稳定性要求

方程中唯一使其非线性的项是最后一项：-u^3。你有没有试过先去掉这个项，然后解剩下的线性方程

更新：评论引发的一些其他想法：

我理解

u^3

术语的重要性。扩散是一个二阶导数的w.r.t.空间，所以我不能确定一个六阶方程也会这样。我对偏微分方程的经验来自于没有六阶方程的物理学分支，所以我真的不知道解是什么样子。我会先解线性问题，来感受它

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至于稳定性和显式方法，它的信条是，时间步长的稳定性限制使它们很可能失败，但概率不是1.0。我认为map reduce和云计算可能会使显式解决方案比10-20年前更加可行。显式动力学已成为解决困难静力学问题的主流方法，因为它们不需要矩阵求逆。

除非对拉普拉斯和四阶导数使用六阶离散化，否则FTCS肯定会失败。什么不起作用？我不知道这个特殊方程有什么困难（u-u^3项可能会对任何方案的稳定性造成一些破坏，但是，在d和g上应该有一个条件使方程有解），所以任何额外的信息都是好的。还可以尝试mathoverflow.net（尽可能详细地介绍，尤其是为什么您尝试的方法不起作用）。尽管如此，甚至不用费心尝试显式方法。可能是比Mathoverflow更好的选择，Mathoverflow在我看来主要是理论上的。@jonsca：Mathoverflow上有一些数值分析师，这个等式是研究水平。我不了解Math.SE的人，但这可能也值得一试。@Alexandre当然是这样。我毫不怀疑，这是一个高质量的问题，我刚刚发现数学和统计SE网站更加用户友好。不管怎样，只要我的$0.02，如果我插嘴的话，对不起。我打赌这里的-u^3正是使这个方程变得困难的原因（毕竟，方程模拟相变！）。如果你不考虑它，你会得到一个普通的扩散方程（我承认这是一个非常奇特的方程）。另外，冯·诺依曼分析可能会告诉你，任何显式方法都会失败。你的建议总体上是合理的，但这里的困难可能不在实施方法上。