Math 帕斯卡'；非唯一集的s定理？

当集合包含唯一的实体时，计算集合的子集非常有效

当集合包含重复项时，是否对此规则进行了修改

例如，当我尝试查找字母A、B、C、D组合的计数时，很容易看到它是1+4+6+4+1（从Pascal三角形）=16，或者如果我删除“不使用任何字母”条目，它是15

现在，如果这组字母是A，B，B，C，C，D呢？通过手工计算，我可以确定子集之和为：1+4+8+11+11+8+4+1=48，但这不符合我所知道的三角形

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问题：如何修改Pascal三角形以考虑集合中的重复实体？

集合仅包含唯一项。如果存在重复项，则它不再是一个集合。

即使数学集合确实包含唯一项，在编程的真实世界中，您也可能遇到“集合”中重复项的问题。有关示例，请参见关于Lisp并集。

您根本不需要修改Pascal三角形。研究C（k，n），你会发现-，你基本上需要把原始结果除以，来解释等价字母的排列

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例如，A B1 B2 C1 D1==A B2 B1 C1 D1，因此您需要将C（5,5）除以C（2,2）。

没有重复项（如之前海报所述，在一组中），每个元素要么在子集内，要么在子集外。所以你有2^n个子集。对于重复项，（在“多集合”中），您必须考虑每个元素在“子多集合”中的次数。如果它m_1，m_2…m_n表示每个元素重复的次数，则子包的数量为（1+m_1）*（1+m_2）*。。。（1 +Myn）。

是的，如果你不想考虑集合，考虑“因素”的概念：有多少因素：

p1^a1.p2^a2....pn^an

如果p1是不同的素数，则具有。如果ai都是1，那么数字是2^n。一般来说，答案是（a1+1）（a2+1）…（an+1），正如戴维·内姆所指出的

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哦，请注意，您的手工回答是错误的，如果您不想计算空集，答案应该是48或47。

看起来您想知道有多少子集合有，比如说，3个元素。这方面的数学变得非常棘手，非常迅速。这个想法是，你想把所有的方法组合在一起，达到目的。所以你有C（3，4）=4种方法来做，没有重复的元素。B可以用C（1,3）=3种方式重复两次。B可以以1种方式重复3次。C可以以C（1,3）=3种方式重复两次。总共11人。（你手上拿的10是错的，对不起。）

总的来说，试图做到这一点太难了。跟踪它的更简单的方法是写出一个多项式，它的系数有你想要乘以的项。对于帕斯卡三角形，这很简单，多项式是（1+x）^n。（可以使用重复平方来更有效地计算。）在这种情况下，如果一个元素重复两次，则会有一个（1+x+x^2）因子。3次为（1+x+x^2+x^3）。因此，您的具体问题将按以下方式解决：

(1 + x) (1 + x + x^2 + x^3) (1 + x + x^2) (1 + x)
  = (1 + 2x + 2x^2 + 2x^3 + x^4)(1 + 2x + 2x^2 + x^3)
  = 1    + 2x   + 2x^2 +  x^3 +
    2x   + 4x^2 + 4x^3 + 2x^4 +
    2x^2 + 4x^3 + 4x^4 + 2x^5 +
    2x^3 + 4x^4 + 4x^5 + 2x^6 +
    x^4  + 2x^5 + 2x^6 +  x^7
  = 1 + 4x + 8x^2 + 11x^3 + 11x^4 + 8x^5 + 4x^6 + x^7

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如果您想在代码中生成这些数字，我将使用多项式技巧来组织您的思维和代码。（你将使用系数数组。）

通常被称为多集或包。我发现，对术语的吹毛求疵是最流行的回答，这令人沮丧。有人真的不明白所问的问题吗？数学是建立在非常精确的定义上的，所以“术语”很重要。如果您任意更改集合的定义，那么集合上定义的操作可能会更改其含义，或者变得毫无意义。@Dima在这种情况下，关于术语的讲座尤其没有帮助。如果你足够老练，能够关心这些事情，那么你也应该引入一些术语和形式，保持原意不变，但使问题形成良好的形式。好吧，我很抱歉听起来像个自命不凡的傻瓜。但我认为这一点仍然站得住脚。如果您有一个允许重复的“集合”，那么“子集”、“成员”、“联合”和“交集”等术语的含义与Pascal所想的不同。如果您需要多个子集合的总数，这会有所帮助。如果你想用5个元素来求解多子集合的总数，这是没有帮助的。C（5,5）=1，C（2,2）。。。这和我需要的不太接近。