Math 最大化复数的绝对实部之和

假设复数a1..an，这些数字必须旋转的角度φ是多少（=乘以exp（i*φ））才能最大化实部绝对值之和

in:=complex[N]
out:=in.*exp(i*phi)
f:=sum(abs(real(out))) 

->哪个phi使f最大

是否有一个优雅的解决方案（如不迭代phi）

要找到每个数字必须乘以的角度以使其成为现实并不困难，但加权这些角度以找到所有角度的单个最佳角度是困难的，因为旋转显然不是线性的——类似于

sum(phiN.*abs(in))/sum(abs(in)) 

不起作用（产生的和小于通过对-pi到pi进行迭代得到的角度）

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任何想法都值得赞赏。

尽管存在解析解，但通常很难计算它（对于少量输入变量（

n

）可能是可行的）。我将首先讨论这个解决方案，然后提出备选方案

解析解 给定输入编号<代码>（l1，phi1），（l2，phi2）。。。（ln，phin），其中

li

是数字的长度，

phii

是数字的角度，您要找到：

arg max_phi Sum_i abs(li cos(phii + phi))

你只有一个自变量。因此，我们首先导出关于φ的函数：

f'(phi) = Sum_i (-li sin(phii + phi) * abs'(l cos(phii + phi))

abs'（x）

是

+1

或

-1

。由于它的不连续性，我们不会尝试每种组合。因此，您最终得到了

2^n

的

f'

变体。然后，最佳值是其中一个（通常是四个）参数，其中

f'（phi）=0

。这可以按如下方式计算。I用

si

表示第I项的符号，需要修改：

numerator = Sum_i si li sin(phii)
denominator = (Sum_i li^2) + (Sum_i Sum_{j>i} 2 * li * lj * si * sj 

cos（phii-phij））

然后，四个备选解决方案是：

phi*    = -arc cos( numerator / sqrt(denominator))
phi**   = -arc cos(-numerator / sqrt(denominator))
phi***  =  arc cos( numerator / sqrt(denominator))
phi**** =  arc cos(-numerator / sqrt(denominator))

找到每个变量的所有候选变量，并选择具有最大

f（phi）

的变量。但是，如前所述，此方法不适用于大型

n

。您需要

2^n

的

f

变体，每个变体都需要

O（n^2）

时间来构建解决方案

数值解

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另一种方法是数值优化方法。挑战在于你的函数不是凸的。因此，如果你找到一个局部最大值，你就不能说它是否是全局最大值。大多数算法需要良好的初始化。您可以通过对

phi

域进行采样并选择最佳域来找到初始点。然后，尝试一些标准的方法（牛顿、莱文伯格·马夸特、BFGS）。

@Galactic Ketchup：感谢你发现了这个错误。对于其他的改变，请发布一个你自己的答案，因为这些会改变我答案的内容很多。