Math 广告牌精灵绘画背后的数学原理是什么？（逆矩阵）

我在这个网站上学习“光线投射教程”，以便在2D地图中创建一个3D透视图，类似于一个名为“光线投射”的老游戏

以下是目前为止的结果，如图所示：

我所困惑的是渲染始终面向摄影机方向的公告牌2d精灵背后的数学

以下是billboard 2d sprite的外观：

我遵循了关于精灵渲染的教程，你可以在这里找到它，我设法在我的场景中显示广告牌精灵，正如你在第一幅图像中看到的，在教程中，他们使用了逆矩阵， 他们将精灵的相对位置乘以摄影机矩阵的倒数

精灵的相对位置与2个坐标组合，因为我们正在处理2d地图，如下所示：

摄像机矩阵如下所示：

在我前面提到的教程中，他们将精灵的相对位置乘以摄影机矩阵的倒数，如下所示：

但我不明白它是如何工作的，为什么我们需要将摄像机矩阵的倒数乘以精灵矩阵，我想了解它背后的逻辑，这个公式如何使精灵旋转，始终朝向摄像机方向？！

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我在游戏开发方面还是新手。

首先，我需要一些数学背景：

2D的2x2矩阵仅包含旋转矩阵。这意味着：

mat2 m;    // rotation matrix
vec2 a,b;  // 2D points

b = m*a;   // rotates a by m and stores into b

如果乘以逆：

mat2 n;
n = inverse(m);
b = n*b;

您获得了原始位置

a

，因为逆矩阵和正矩阵相乘是单位矩阵：

           b =            m*a 
inverse(m)*b = inverse(m)*m*a 
inverse(m)*b =              a 

然而，在2D光线投射器中使用矩阵是非常不寻常的，因为它使事情变得复杂。见：

此外，仅使用旋转矩阵意味着您必须在旋转之前或之后自行偏移/平移。我打赌你在代码中做的事情如下：

a = rotation_matrix*a;
a += translation;
a = Inverse(rotation_matrix)*a;

正如我在纯旋转矩阵的注释中提到的，转置函数与其逆函数相同，因此对于2D：

m = a0 a1    inverse(m) = transpose(m) = a0 a2
    a2 a3                                a1 a3

有关矩阵的更多信息，请查看：

有更多可能的数学表示法（使用正矩阵或逆矩阵、行/列主顺序、乘法顺序等，这可能会稍微改变方程式）

但是，您的矩阵描述似乎不正确。应该是：

| camerax.x cameray.x |
| camerax.y cameray.y |

所以基本上是世界坐标系中的两个方向向量（一个用于相机/播放器的x轴，一个用于y轴）（但相机平面法线平行于另一个方向，所以它是相同的…只是混淆了很多）

现在我是这么看的：

播放器是您的相机，因此您需要操作系统将精灵世界位置

sw

转换为播放器坐标

sp

。然后只需将精灵渲染为平行于player

xz

平面（或任何其他轴配置不同的轴）

因此，让

mp

成为球员轮换矩阵和

pp

球员世界位置，然后：

sp = mp*(sw-pp)

将精灵转换为玩家坐标。然而，根据你的引擎，你可能需要一个与玩家平行的假墙来代替世界坐标。因此，墙将位于：

sprite_wall_vertexes = sw (+/-) (inverse(mp)*sprite_half_size)

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多亏了@Spektre我能够理解为什么我们将精灵的相对位置乘以相机矩阵的倒数，我只想添加更多的信息和解释

首先，让我们看看下图中的球员位置：

正如我们可以看到的，玩家的位置是（2,1），精灵的位置是（2,3），我们必须做的第一件事是根据玩家的位置知道精灵的位置，所以：

SpriteX = SpritePosX - PlayerPosX = 2 - 2 = 0
SpriteY = SpritePosY - PlayerPosY = 3 - 1 = 2

然后，根据玩家的位置，我们的精灵位置是（0,2），这是由上图中的红色向量表示的

但是如果我们不将红色向量坐标与摄影机矩阵的逆相乘，会发生什么呢

然后我们将使用从玩家位置到精灵位置的实际距离，当摄影机视图旋转时，红色向量将随之旋转，因此当您绘制精灵时，它将始终与

摄影机平面

垂直，这是我们不希望发生的

下面是它在图中的样子：

下面是它在游戏中的样子：

现在，如果我们将精灵（红色向量）的相对位置乘以相机矩阵的倒数，会发生什么

正如您所知，以及评论部分提到的@Spektre

“通过乘以逆矩阵，可以取消先前的旋转…其 “不旋转”回

因此，当我们将精灵（红色向量）的相对位置乘以相机矩阵的倒数时，相机/播放器的旋转将不会影响红色向量，它将保持静止，我们将根据相机视图获得红色向量的新坐标

如果我们将红色向量乘以摄像机矩阵的倒数，图中会出现以下情况：

在游戏中：

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通过乘以“逆”可以取消上一次旋转。。。它不转回来了。在2D光线投射器中使用矩阵很奇怪。。。正如你所看到的，没有使用矩阵…@Spektre是的，我只是在本教程中使用向量和摄影机，而不是欧几里德角度。此外，如果你的矩阵只有2x2，并且只保持旋转，那么转置与反转相同，所以你不需要实现复杂/缓慢的矩阵反转。。。转置很简单，只需交换第二条对角线上的2个元素（左下右上）@Spektre是的，这样更快我以前不知道这个信息，非常感谢。