Math 利用Z3和SMT-LIB寻找最高回文乘积

基于，我尝试在SMT-LIB中编码，并使用Z3解决它

问题是找到两个三位数的最大回文整数乘积。解决方案是

993*913=906609

在下面的代码中，我只能将两个三位数的数字编码为回文。这将生成正确但不是最大的

604406

值

如何更改代码以找到

906609

的最大值？ 我尝试过使用

（maximize（*pq））

，但它报告了一个错误，不支持说

目标函数“（*pq）”。我可以调整
a
的范围，但我正在寻找一种让Z3为我做这件事的方法

到目前为止，我得到的是：

(declare-const a Int)
(declare-const b Int)
(declare-const c Int)

(declare-const p Int)
(declare-const q Int)

(declare-const pq Int)

(define-fun satisfy ((pq Int)) Bool
 (and
  (<= 1 a 9)
  (<= 0 b 9)
  (<= 0 c 9)

  (<= 100 p 999)
  (<= p q 999)

  (= pq
     (* p q)
     (+ (* 100001 a)
        (*  10010 b)
        (*   1100 c)))))

(assert (satisfy pq))

; Does not work:
;(maximize (* p q))

(check-sat)
(get-model)

一个可能的解决办法是

    (declare-const a Int)
(declare-const b Int)
(declare-const c Int)

(declare-const p Int)
(declare-const q Int)

(declare-const pq Int)

(define-fun satisfy ((pq Int)) Bool
 (and
  (<= 1 a 9)
  (<= 0 b 9)
  (<= 0 c 9)

  (<= 100 p 999)
  (<= p q 999)

  (= pq
     (* p q)
     (+ (* 100001 a)
        (*  10010 b)
        (*   1100 c)))))

(assert (satisfy pq))
(assert (> pq 888888))


(check-sat)
(get-model)

请联机运行此代码。
其他可能的解决方案：我们搜索一个编号
efggfe
，它是编号
9ab
和
9cd
的乘积。使用代码

 (declare-const a Int)
(declare-const b Int)
(declare-const c Int)
(declare-const d Int)
(declare-const e Int)
(declare-const f Int)
(declare-const g Int)
(assert (and (>= a 0) (<= a 9)))
(assert (and (>= b 0) (<= b 9)))
(assert (and (>= c 0) (<= c 9)))
(assert (and (>= d 0) (<= d 9)))
(assert (and (>= e 0) (<= e 9)))
(assert (and (>= f 0) (<= f 9)))
(assert (and (>= g 0) (<= g 9)))
(assert (= (* (+ 900 (* 10 a) b)  (+ 900 (* 10 c) d))      
           (+ (* 100000 e) (* 10000 f) (* 1000 g) (* 100 g) (* 10 f) e)))

(check-sat)
(get-model)

它对应于编号
906609

请联机运行此代码

为了验证
906609
是否为最大值，我们运行以下代码

 (declare-const a Int)
(declare-const b Int)
(declare-const c Int)
(declare-const d Int)
(declare-const e Int)
(declare-const f Int)
(declare-const g Int)
(assert (and (>= a 0) (<= a 9)))
(assert (and (>= b 0) (<= b 9)))
(assert (and (>= c 0) (<= c 9)))
(assert (and (>= d 0) (<= d 9)))
(assert (and (>= e 0) (<= e 9)))
(assert (and (>= f 0) (<= f 9)))
(assert (and (>= g 0) (<= g 9)))
(assert (= (* (+ 900 (* 10 a) b)  (+ 900 (* 10 c) d))      
           (+ (* 100000 e) (* 10000 f) (* 1000 g) (* 100 g) (* 10 f) e)    ) )
(assert (>  (+ (* 100000 e) (* 10000 f) (* 1000 g) (* 100 g) (* 10 f) e)        906609))           

(check-sat)

请运行最后一个代码
，因为这不是我想要的。我可以调整任何变量（p、q、pq、a等），以得到我知道的答案。我要寻找的是一种编码约束的方法，即produkt pq应该是最高的，考虑到其他约束。假设我事先不知道答案，希望自动找到答案。使用
maximize
需要构建Z3的优化分支。寻找最大值的另一个可能的解决方案是断言没有更小的解决方案。我从未在Euler 4上使用过这种方法（见我博客上的评论），但我在Euler 4上使用了类似的解决方案。是的，我设法找到了opt分支，而且我对理论C了解太少，无法找到最大化不起作用的线索（它似乎在抱怨乘法不受支持；我想这与我们在复杂性树中的地位很高这一事实有关）。你不是在隐藏一个要求，即数字应该由两个大于900的因子组成吗？
（*（+900（*10a）b）（+900（*10c）d））
？是的，这是可行的，但我们仍然在给Z3强有力的提示，我们只能事后才知道。我希望我们能让Z3说“这是最大值”无需重播。是否可以使用
push
和
pop
进行类似的操作？非常感谢您给出的好答案，但这并不正是我想要的。
 (declare-const a Int)
(declare-const b Int)
(declare-const c Int)
(declare-const d Int)
(declare-const e Int)
(declare-const f Int)
(declare-const g Int)
(assert (and (>= a 0) (<= a 9)))
(assert (and (>= b 0) (<= b 9)))
(assert (and (>= c 0) (<= c 9)))
(assert (and (>= d 0) (<= d 9)))
(assert (and (>= e 0) (<= e 9)))
(assert (and (>= f 0) (<= f 9)))
(assert (and (>= g 0) (<= g 9)))
(assert (= (* (+ 900 (* 10 a) b)  (+ 900 (* 10 c) d))      
           (+ (* 100000 e) (* 10000 f) (* 1000 g) (* 100 g) (* 10 f) e)))

(check-sat)
(get-model)

sat 
(model 
(define-fun g () Int 6) 
(define-fun f () Int 0) 
(define-fun e () Int 9) 
(define-fun d () Int 3) 
(define-fun c () Int 1) 
(define-fun b () Int 3) 
(define-fun a () Int 9) )

 (declare-const a Int)
(declare-const b Int)
(declare-const c Int)
(declare-const d Int)
(declare-const e Int)
(declare-const f Int)
(declare-const g Int)
(assert (and (>= a 0) (<= a 9)))
(assert (and (>= b 0) (<= b 9)))
(assert (and (>= c 0) (<= c 9)))
(assert (and (>= d 0) (<= d 9)))
(assert (and (>= e 0) (<= e 9)))
(assert (and (>= f 0) (<= f 9)))
(assert (and (>= g 0) (<= g 9)))
(assert (= (* (+ 900 (* 10 a) b)  (+ 900 (* 10 c) d))      
           (+ (* 100000 e) (* 10000 f) (* 1000 g) (* 100 g) (* 10 f) e)    ) )
(assert (>  (+ (* 100000 e) (* 10000 f) (* 1000 g) (* 100 g) (* 10 f) e)        906609))           

(check-sat)

unsat