Math 初始条件为0时的归纳证明 归纳法的证明| |迭代法

嗨，我正在研究一个离散数学问题，我不知道该怎么办：

T（n）=3+T（n/2），T（0）=0

我已经试过了插入法和感应法，但我似乎无法解决它

我的问题是，当我试图建立一个通用公式时：

T(n) = 3 + T(n/2) => T(n/2) => 3 + T(n^2/2^2)
T(n) = 3 + (3 + T(n^2/2^2))
T(n) = 3 + 3 + T(n^2/2^2) => 3 + T(n^3/2^3)
T(n) = 3 + 3 + (3 + T(n^3/2^3))
T(n) = 3 + 3 + 3 + T(n^3/2^3)

所以，

g（i）=3i+T（n^i/2^i）

因为，

T（0）=0

。我需要使

n^I/2^I

等于

0

n^i/2^i = 0

我被卡住了。我看了答案键，答案是：

T(n) = 3(⌊log2(n)⌋ + 1)

谁能给我指一下正确的方向吗

T(n) = 3 + T(n/2)
T(0) = 0

我们可以写出一些值并猜测一个公式：

n    T(n)
0    0
1    3 + T(1/2) = 3 + T(0) = 3 + 0 = 3
2    3 + T(2/2) = 3 + T(1) = 3 + 3 = 6
4    3 + T(4/2) = 3 + T(2) = 3 + 6 = 9
...
2^k  3 + 3log(k)

我们是如何得出这个猜测的？我们注意到，n每增加一倍，T（n）的值就增加三倍。为了计算倍增的数量，可以使用自然对数，因为对数给出了基数必须提高到的指数（重复倍增是2的幂的乘积）

我认为你在这里的困难-这是完全正确的-是猜测不适用于初始条件。事实上，零的对数甚至没有定义。那么，这里发生了什么？实际上，问题的关键是当我们计算T（1）时，我们说1/2=0。也就是说，我们含蓄地知道要取整。像对数这样的函数是实数上的函数；舍入是我们在离散环境中存在的一种人工制品。因此，递归关系的真正完整解实际上是一个分段函数：

        / 0, if n = 0
T(n) = -
        \ 3*floor(log2(n)) + 3, if n > 0

那么，从真正意义上讲，钥匙中的答案是错误的，或者至少不是完全完整的。它给出的公式不适用于n=0