Numpy 对于某些函数，欧拉能比龙格库塔更好吗？

我试图解决史蒂文·斯特罗加茨的非线性动力学和混沌的练习。在练习2.8.3、2.8.4和2.8.5中，对于初始值问题dx/dt=-x，预计将分别实施Euler方法、改进Euler方法和Runge-Kutta（四阶）方法；x（0）=1以查找x（1）

从分析上看，答案是1/e。我在寻找每种方法的误差。令我大吃一惊的是，与改进的Euler和Runge Kutta相比，我在Euler中得到的误差更小

我的代码看起来像这样。抱歉这么寒酸

from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

to = 0
xo = 1
tf = 1

deltaT = np.zeros([5])
errorE = np.zeros([5])
errorIE = np.zeros([5])
errorRK = np.zeros([5])


for j in range(0,5):
  n = pow(10,j)
  deltat = (tf - to)/(n)

  print ("delta t is",deltat)

  deltaT[j] = deltat

  t = np.linspace(to,tf,n)
  xE = np.zeros([n])
  xIE = np.zeros([n])
  xRK = np.zeros([n])

  xE[0] = xo
  xIE[0] = xo
  xRK[0] = xo

  for i in range (1,n):
    #Regular Euler
    xE[i] = deltat*(-xE[i-1]) + xE[i-1]

    #Improved Euler
    IEintermediate = deltat*(-xIE[i-1]) + xIE[i-1]
    xIE[i] = xIE[i-1] - deltat*(xIE[i-1] + IEintermediate)/2 

    #Runge-Kutta fourth order
    k1 = -deltat*xRK[i-1]
    k2 = -deltat*(xRK[i-1] + k1/2)
    k3 = -deltat*(xRK[i-1] + k2/2)
    k4 = -deltat*(xRK[i-1] + k3)

    xRK[i] = xRK[i-1] + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6

    print (deltat,xE[i],xIE[i],xRK[i])

  errorE[j] = np.exp(-1) - xE[n-1]
  errorIE[j] = np.exp(-1) - xIE[n-1]
  errorRK[j] = np.exp(-1) - xRK[n-1]

错误：

对于delT=1.0

• 欧拉误差为-0.63212055888285577
• I.欧拉误差为-0.63212055888285577
• RK误差为-0.63212055888285577

对于delT=0.1

• 欧拉误差-0.019541047828557645
• I.欧拉误差-0.039348166379443716
• RK错误-0.03869055002863331

对于delT=0.01

• 欧拉-0.0018501964782845493
• 一、欧拉-0.003703427083890265
• RK-0.0036972498815148747

对于delT=0.001

• 欧拉-0.0001840470877806366
• I.欧拉-0.000368124801483849635
• RK-0.00036806344222467535

对于delT=0.0001

• 欧拉-1.839504510836587e-05
• 一、欧拉-3.67903967520844e-05
• RK-3.678978357835039e-05

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这合法吗？如果没有，为什么会发生这种情况？

您只在执行步长为

h=1/n

的积分步骤，因此您可以计算

exp(-(n-1)/n)=1/e*exp(1/n) 

它有近似值

1/e + 1/e*1/n

报告的误差值正好是一阶的，因此会被一阶欧拉方法明显扭曲。更准确地说，Euler值是

(1-1/n)^(n-1) = exp((n-1)*(-1/n-1/(2n^2)+O(1/n^3))
              = 1/e*exp(1/(2n)+..)
              = 1/e + h/(2e) + ... 

如果您调整代码以执行额外步骤以达到时间

1

，您将获得正确的错误图片

delta t is  1.0
Euler          0.0             0.367879441171
imp. Euler     0.5            -0.132120558829
Runge-Kutta 4  0.375          -0.00712055882856

delta t is  0.1
Euler          0.3486784401    0.0192010010714
imp. Euler     0.368540984834 -0.00066154366211
Runge-Kutta 4  0.367879774412 -3.33241056083e-07

delta t is  0.01
Euler          0.366032341273  0.00184709989821
imp. Euler     0.367885618716 -6.17754474969e-06
Runge-Kutta 4  0.367879441202 -3.09130498977e-11

delta t is  0.001
Euler          0.367695424771  0.000184016400479
imp. Euler     0.367879502531 -6.13592486265e-08
Runge-Kutta 4  0.367879441171 -4.05231403988e-15

delta t is  0.0001
Euler          0.367861046433  1.83947385133e-05
imp. Euler     0.367879441785 -6.13176398545e-10
Runge-Kutta 4  0.367879441171 -2.6645352591e-15