Numpy 自定义Python Monte Carlo积分函数低估了多维积分

我需要创建一个自定义Monte Carlo积分函数，以适应使用NumPy的自定义多维分布对象。我需要它对每个维度中相同的值进行积分。它适用于单个维度，但低估了多个维度，随着维度的增加，情况会变得更糟。我用这个（方程式5）作为指导。我的体积公式*平均密度不正确吗？我的取样方法不正确吗？我真的不知道错误是什么

import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal

# Set up distribution parameters.
dim = 3
loc = np.repeat(0., repeats=dim)
scale = np.repeat(1., repeats=dim)

# Initialize a multivariate normal distribution.
mvn = multivariate_normal(mean=loc, cov=scale)

def mc_integrator(distribution, dim, support, size=1000, seed=0):
    """
    Parameters
    ----------
    distribution : function
        A probability density function.
    dim : int
        The number of dimensions of the distribution.
    support : list
        List of the low and high values of the hypercube to integrate over.
    size : int, optional
        Number of samples used for estimation. The default is 1000.
    seed : int, optional
        A random seed for reproducibility. The default is 0.

    Returns
    -------
    float
        The estimate of the integral over the hypercube.
    """
    # Set the random seed.
    np.random.seed(seed)
    # Separate the elements of the support.
    a, b = support[0], support[1]
    # Calculate the volume of the hypercube.
    volume = (b-a)**dim
    # Generate random samples of the appropriate shape.
    samples = np.random.uniform(low=a, high=b, size=(size,dim))
    # Return the estimate of the integral.
    return volume*np.mean(distribution(samples))

# Set the number of samples to use for estimation.
size = 10000
# Set the low and high value over each dimension of the hypercube.
support = [-2, 2]
# Print the estimate of the integral.
print(mc_integrator(mvn.pdf, dim, support, size=size))
# Print the exact value of the integral.
print(mvn.cdf(np.repeat(support[1], dim))-mvn.cdf(np.repeat(support[0], dim)))

Output: 0.8523870204938726
        0.9332787601629401

---

约翰，整体看起来不错，但在我看来，你对预期结果的估计是错误的。我认为预期结果应该是

（F（2）-F（-2）^3

，其中

F

是均值0和方差1的高斯cdf。对于

F（2）-F（-2）

，我得到

erf（sqrt（2））

约为0.9545，然后

（F（2）-F（-2））^3

为0.8696，这与您的结果非常吻合

我不知道mvn.cdf应该返回什么，但是“cdf”的概念在不止一个维度上有点可疑，所以也许你可以避开它

关于一般的多维积分，你提到使用Halton序列。我认为这也是一个有趣的想法。我计算积分的经验是在1或2维中使用求积规则，在3到数维中使用低差异序列（5？7？我不知道）还有，我的建议是，在诉诸数值近似之前，要非常努力地获得精确的结果

---

我很想听听你在做什么。

约翰，整体看起来不错，但在我看来，你对预期结果的估计不正确。我认为预期结果应该是

（F（2）-F（-2）^3

，其中

F

是均值0和方差1的高斯cdf。对于

F（2）-F（-2），我得到
erf（sqrt（2））
约为0.9545，然后
（F（2）-F（-2））^3
为0.8696，这与您的结果非常吻合

我不知道mvn.cdf应该返回什么，但是“cdf”的概念在不止一个维度上有点可疑，所以也许你可以避开它

关于一般的多维积分，你提到使用Halton序列。我认为这也是一个有趣的想法。我计算积分的经验是在1或2维中使用求积规则，在3到数维中使用低差异序列（5？7？我不知道）还有，我的建议是，在诉诸数值近似之前，要非常努力地获得精确的结果

我很想听听你在做什么。
10000个样本对于MCI来说是非常低的。对于1000000个样本，它只有0.8694640813906446，所以仍然是低估。它似乎总是低估，MC有时也应该高于真实值。当你增加样本的维度时，低估问题会变得更严重分布，所以它必须与我如何处理多维有关。编辑：一旦我让天真的MC集成工作起来，我将添加使用Halton序列生成样本的选项，这将减少所需的样本数。10000个样本对于MCI来说非常少。1000000个样本只有0.8694640813906446，所以仍然是低估。它似乎总是低估，MC有时也应该高于真实值。随着分布维度的增加，低估问题会变得更严重，因此这一定与我如何处理多个维度有关。编辑：一旦我让天真的MC集成起作用，我将添加使用Halton序列生成样本的选项，这将减少所需的样本数量。感谢Robert，我假设我使用多变量_normal.cdf（）的方式与（F[b]-F[a]的工作方式相同^#维度。不幸的是，我不能使用求积规则，因为我必须使用非常高的维度分布，所以运行时间会爆炸。我正在构建函数来使用耦合分布，并计算耦合熵、交叉熵和发散。要找到精确的结果很难，而且要使用数值近似允许我获得任何分布的近似结果。感谢Robert，我假设我使用多变量_normal.cdf（）的方式与（F[b]-F[a]的工作方式相同^#维度。不幸的是，我不能使用求积规则，因为我必须使用非常高的维度分布，所以运行时间会爆炸。我正在构建函数来使用耦合分布，并计算耦合熵、交叉熵和发散。要找到精确的结果很难，而且要使用数值近似允许我获得任何分布的近似结果。