Performance 我如何通过归纳法证明这两种算法中的第二种更快？_Performance_Algorithm_Proof_Induction

Performance 我如何通过归纳法证明这两种算法中的第二种更快？

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Performance 我如何通过归纳法证明这两种算法中的第二种更快？,performance,algorithm,proof,induction,Performance,Algorithm,Proof,Induction,我有两种算法 A. Solves problem in 2^n seconds. B. Solves problem in n^2 + 1,000,000 seconds. 我怎样才能归纳地证明B比A快我被告知n>2的2^n>2n+1可能对这个问题有用。我一直在绞尽脑汁，解决不了这个问题。谢谢 “n”相当于程序的大小编辑：用于所有n>19。解决方案：前提：n^2+100000019.9321时才会更快。如果你不需要实际的工作，那就是我得到答案的地方对于任何小于19.9321的数字，

我有两种算法

A. Solves problem in 2^n seconds.

B. Solves problem in n^2 + 1,000,000 seconds.

我怎样才能归纳地证明B比A快

我被告知n>2的2^n>2n+1可能对这个问题有用。我一直在绞尽脑汁，解决不了这个问题。谢谢

“n”相当于程序的大小

编辑：用于所有n>19。

解决方案：

前提：n^2+1000000<2^n

依据：
n=20
1000400<1048576正确

归纳法：

(n+1)^2 + 1000000 > 2^(n+1)
n^2 +2n +1 +1000000 > 2^(n+1)
Apply 2^n > 2n + 1
n^2 + 1000000 > 2^(n+1)

最后一行表示B总是大于A。

B只有在n>19.9321时才会更快。如果你不需要实际的工作，那就是我得到答案的地方

对于小于19.9321的任何数字，则A将更快。

B仅当n>19.9321时才会更快。如果你不需要实际的工作，那就是我得到答案的地方

对于任何小于19.9321的数字，A将更快。

Python作为计算器：

>>> n = 20
>>>
>>> 2**n
1048576
>>> n**2 + 1000000
1000400
>>>

Python作为计算器：

>>> n = 20
>>>
>>> 2**n
1048576
>>> n**2 + 1000000
1000400
>>>

正如你所说，基本情况已得到证实。 ie

k^2=5

对于归纳法，让我们假设

k^2<2^k

啊，我感觉我快到了。有什么帮助吗？

正如你所说，基本情况已经证明。 ie

k^2=5

对于归纳法，让我们假设

k^2<2^k

啊，我感觉我快到了。有什么帮助吗？

我不知道如何使用归纳法，但我认为这可能会有帮助：注意，首先，对数是一个单调递增的函数。所以当a>b（i）时，日志（a）>log（b）

注意log（n^2）>log（n^2+1000000）（ii）

此外，log（n^2）=2log（n）

显然，对于大n，nlog2>2 logn，所以

所以，日志（2^n）>日志（n^2）>日志（n^2+1000 000）来自（ii）

所以,

      log(2^n) >  log(n^2 + 1 000 000)

再次从（i）开始

你觉得怎么样？