Python 两个简单递归函数的Big-O表示法

我在Python中有两个递归函数，只是想知道它们的大O表示法。每一个的大O是什么

def cost(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return cost(n-1) + cost(n-1)

def cost(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return 2*cost(n-1)

---

让我们使用递归关系来解决这个问题！第一个函数的运行时可以递归地描述为

T（0）=1

T（n+1）=2T（n）+1

也就是说，基本情况需要一个时间单位才能完成，否则我们将对问题的较小实例进行两次递归调用，并进行一些设置和清理工作。在这个循环中展开一些术语，我们得到

• T（0）=1
• T（1）=2T（0）+1=2+1=3
• T（2）=2T（1）+1=2×3+1=7
• T（3）=2T（2）+1=2×7+1=15

这个系列1，3，7，15。。。可能看起来很熟悉，因为它是21-1、22-1、23-1等等。更一般地说，我们可以证明这一点

T（n）=2n+1-1

我们可以通过归纳法来做到这一点。作为我们的基本情况，T（0）=1=21-1，因此索赔适用于n=0。现在假设对于一些n，T（n）=2n+1-1。那我们就有了

T（n+1）=2T（n）+1=2（2n+1-1）+1=2n+2-2+1=2n+2-1

我们完了！因为这个循环的结果是2n+1-1=2（2n）-1，所以我们知道运行时是Θ（2n）

第二个函数的运行时可以递归地描述为

T（0）=1

T（n+1）=T（n）+1

扩展一些术语：

• T（0）=1
• T（1）=T（0）+1=1+1=2
• T（2）=T（1）+1=2+1=3
• T（3）=T（2）+1=3+1=4

这就得到了1，2，3，4，…，所以更一般地说，我们可以猜测

T（n）=n+1

我们可以再次归纳地证明这一点。作为基本情况，如果n=0，则T（0）=1=0+1。对于归纳步骤，假设对于某些n，T（n）=n+1。然后

T（n+1）=T（n）+1=n+1+1=n+2

我们完了！因为运行时是n+1，所以运行时是Θ（n）

---

希望这有帮助

使用递归树（通过可视化图表）查找成本。

函数代价的递推关系（n）

---

类似的方法，我们可以找到第二个函数的时间复杂度。

我认为第一个是O（2^n），第二个是O（n）。如果你解释一下你是如何得出这些O的，我会把它作为一个答案，似乎应该添加一个关于记忆的注释，它可以将指数运行时间缩短为线性。这是一个史诗般的答案。这很有帮助。你能给我指出一些类似的空间分析方法吗？很好的方法！然而，直到我读到另一个网站解释了你所描述的重复关系，我才完全理解这个方法。只是把链接放在这里，以防它对任何人都有帮助。

                    T(n) = 2T(n-1)+c

If at kth level input size become 0 (base condition where func terminates)
                                           n-k =0
                                              k=n


Total cost of the function (adding cost of each level) :
             T(n) = 2^0*c+ 2^1*c + 2^2*c + 2^3*c +.. .. . .+ 2^n * c
                  = O(2^n)