Python：使用odeint求解二阶线性微分方程

我有两个这样的微分方程：

al=arctan（ri'）

ri'=（vz-C_-alz（ri，al））*（1+ri'**2）/C_-aln（ri，al）

初始值为：

ri（l=0）=2.5，ri'（l=0）=0

vz

是关于l和

C_alz

的函数，

C_aln

是关于

ri

和

al

的两个函数。这3个复杂的数学表达式是通过代码1计算出来的，结果是正确的，

ri

的轨迹可以作为代码2结果的参考

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Fri Dec 18 14:41:07 2015
@author: marswang
code 1
"""

from numpy.linalg import inv
from sympy import sqrt, sin, cos, tan, atan, diff
from numpy import array
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as pl
import numpy as np
def r_trajektor (L,R):  
    B= np.array([[1, L[0], L[0]**2,L[0]**3 ], [0, 1, 2*L[0], 3*L[0]**2], [1, L[1], L[1]**2, L[1]**3], [0, 1, 2*L[1], 3*L[1]**2]])
    X= np.array([[R[0]], [0], [R[1]], [0]])
    A=np.dot(inv(B), X)
    return A    

a=7.6
rh_s=2420                          
rh_m=2285                          
the_0=11                           
Rc=49                              
vc= 0                             
vp=10

# two points in the r-trajektory and 1. derivative:
# point1 l0=0,r(l0)=2.5 and r'(l0)=0 
# point2 l1=36,r(l1)=22.5 and r'(l1)=0
L= array([[0], [36]])
R= array([[2.5], [22.5]])
# A symbolic derivation expression of vg
ri=sp.Symbol('ri') 
al=sp.Symbol('al')
l=sp.Symbol('l')  
A=r_trajektor(L,R)
# convert 'list' to 'float'
rir=float(A[0])+float(A[1])*l+float(A[2])*l**2+float(A[3])*l**3
dri=diff(rir,l)
alr=atan(diff(rir,l))
dal=diff(alr,l)
hi=a*sqrt((1-sin(the_0+al))/(1+a/(sqrt(2)*ri)))
hir=hi.subs([(al,alr),(ri,rir)])
C_aln=(1-ri**2/(Rc**2))*diff(hi,al)+(a**2)*ri/(Rc**2)*sin(the_0+al)
print C_aln
C_alz=1-(rh_s*ri**2)/(rh_m*Rc**2)+((1-(ri**2)/(Rc**2))*diff(hi,ri)-2*ri*hi/(Rc**2)-(a**2)/(Rc**2)*cos(the_0+al))*tan(al)
print C_alz
vg=((vp-vc)/(diff(al,l)*C_aln+C_alz)).subs([(al,alr),(ri,rir)])
vz=10/vg
print vz


# the function has to be worked with the arrays from numpy too.
# Thus have to lambdify the expression

l_val = np.linspace(0.0,36.0,100.0)

fr=sp.lambdify(l,rir,"numpy")
r_val=fr(l_val)
## plot
pl.figure(figsize=(10,10),dpi=98)
p1 =pl.subplot(2, 1, 1)
p1.plot(l_val,r_val,"g-",label="ri",)
p1.axis([0.0, 40.0,0.0,25.0])
p1.set_ylabel("ri in mm",fontsize=14)
p1.set_xlabel("l in mm",fontsize=14)
p1.legend(loc=4)

现在我想求解这两个微分方程，并使用代码2从代码1的计算出的

vz

反向得到

ri

相对于

l

的图形（轨迹）

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sat Jan 02 13:15:19 2016
@author: marswang
code 2
"""
from sympy import sqrt, sin, cos, tan, atan
import matplotlib.pyplot as pl
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
a=7.6                              
rh_s=2420                          
rh_m=2285                          
the_0=11                           
Rc=49                              
vc= 0                             
vp=10

def func(ri,l):
    vz=((-0.00257201646090535*l**2 + 0.0925925925925926*l + 9.25185853854297e-17)*(-0.00633069554352353*sqrt((-sin(atan(-0.00257201646090535*l**2 + 0.0925925925925926*l + 9.25185853854297e-17) + 11) + 1)/(1 + 3.8*sqrt(2)/(-0.000857338820301783*l**3 + 0.0462962962962963*l**2 + 9.25185853854297e-17*l + 2.5)))*(-0.000857338820301783*l**3 + 0.0462962962962963*l**2 + 9.25185853854297e-17*l + 2.5) + 14.44*sqrt(2)*sqrt((-sin(atan(-0.00257201646090535*l**2 + 0.0925925925925926*l + 9.25185853854297e-17) + 11) + 1)/(1 + 3.8*sqrt(2)/(-0.000857338820301783*l**3 + 0.0462962962962963*l**2 + 9.25185853854297e-17*l + 2.5)))*(-(-0.000857338820301783*l**3 + 0.0462962962962963*l**2 + 9.25185853854297e-17*l + 2.5)**2/2401 + 1)/((1 + 3.8*sqrt(2)/(-0.000857338820301783*l**3 +
    0.0462962962962963*l**2 + 9.25185853854297e-17*l + 2.5))*(-0.000857338820301783*l**3 + 0.0462962962962963*l**2 + 9.25185853854297e-17*l + 2.5)**2) - 0.0240566430653894*cos(atan(-0.00257201646090535*l**2 + 0.0925925925925926*l + 9.25185853854297e-17) + 11)) - 484*(-0.000857338820301783*l**3 + 0.0462962962962963*l**2 +
    9.25185853854297e-17*l + 2.5)**2/1097257 + 1)    
    ri0=ri[0]
    ri1=ri[1]       
    C_aln=0.0240566430653894*ri0*sin(atan(ri1) + 11) - 3.8*sqrt((-sin(atan(ri1) + 11) + 1)/(1 + 3.8*sqrt(2)/ri0))*(-ri0**2/2401 + 1)*cos(atan(ri1) + 11)/(-sin(atan(ri1) + 11) + 1)
    C_alz=-484*ri0**2/1097257 + (-0.00633069554352353*ri0*sqrt((-sin(atan(ri1) + 11) + 1)/(1 +
    3.8*sqrt(2)/ri0)) - 0.0240566430653894*cos(atan(ri1) + 11) + 14.44*sqrt(2)*sqrt((-sin(atan(ri1) + 11) + 1)/(1 + 3.8*sqrt(2)/ri0))*(-ri0**2/2401 + 1)/(ri0**2*(1 + 3.8*sqrt(2)/ri0)))*tan(atan(ri1)) + 1    
    ri2=(vz-C_alz)*(1+ri1**2)/C_aln/
    return [ri1, ri2]

init = np.array([2.5, 0.1])
l = np.linspace(0.0,36.0,100.0)
sol=odeint(func, init, l)
pl.plot(l, sol[:,0], color='b')
pl.legend()
pl.xlabel(" l in mm ", fontsize=14)
pl.ylabel(" ri in mm ", fontsize=14)
pl.show()

我已经多次检查了

vz

，

C_aln

，

C_alz

的表达式。这些表达式直接来自代码1。但代码2的结果是不正确的，我得到的总是和参考不一样。

ri

的参考结果应与第一个图形类似：

但代码2中‘ri’的计算结果如下：

我不确定在这种情况下是否正确使用了

odeint

，这两个图形之间出现此错误的原因是什么

---

我是Python世界的新手，非常感谢您的帮助。谢谢。

对于维度2和阶数1的系统，ODE函数应该返回维度2的向量

对于ODE

u'=f（t，u，u'）

ODE函数应遵循以下方案

def odefunc(t,y):
    u , v = y
    # Computations
    return [ v, f(t,u,v) ]

---

维数为2且阶数为1的系统的ODE函数应返回维数为2的向量

对于ODE

u'=f（t，u，u'）

ODE函数应遵循以下方案

def odefunc(t,y):
    u , v = y
    # Computations
    return [ v, f(t,u,v) ]

---

我是否应该编辑代码2中的返回值，比如：

return[ri1，ri2]

，然后编辑

pl.plot（l，sol[：，0]，color='b'）

。那么我可以得到ri2的返回值，也就是ri“”？是的，这似乎是正确的方法

odeint

似乎负责矢量化，所以即使像

return ri1，ri2

中那样返回一个隐式列表也足够了。@LutzL谢谢。我还有一个关于奥丁的问题。我应该如何使用odeint？我曾经这样写过：

init=[2.5,0.0]
l=np.linspace（0,36100）sol=odeint（func，init，l）

我发现，也许我在初始条件中犯了一个错误，我想定义ini。像ri[0]=2.5，ri'[0]=0这样的条件。格式正确吗？索尔应该是一个ri1和ri2的数组？我试过了。程序运行良好。但是结果更糟。那么恐怕你得回到数学上来。你能不能，无论是在这个问题上，还是在数学上，用更抽象的术语来描述你的前向和后向问题？我认为它们并不完全相反。我是否应该在代码2中编辑我的返回值，比如：

return[ri1，ri2]

，然后

pl.plot（l，sol[：，0]，color='b'）

。那么我可以得到ri2的返回值，也就是ri“”？是的，这似乎是正确的方法

odeint

似乎负责矢量化，所以即使像

return ri1，ri2

中那样返回一个隐式列表也足够了。@LutzL谢谢。我还有一个关于奥丁的问题。我应该如何使用odeint？我曾经这样写过：

init=[2.5,0.0]
l=np.linspace（0,36100）sol=odeint（func，init，l）

我发现，也许我在初始条件中犯了一个错误，我想定义ini。像ri[0]=2.5，ri'[0]=0这样的条件。格式正确吗？索尔应该是一个ri1和ri2的数组？我试过了。程序运行良好。但是结果更糟。那么恐怕你得回到数学上来。你能不能，无论是在这个问题上，还是在数学上，用更抽象的术语来描述你的前向和后向问题？我认为它们并不完全相反。