统计：在python中优化概率计算

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该问题是经典概率问题的复杂形式：

70 colored balls are placed in an urn, 10 for each of the seven rainbow colors.

What is the expected number of distinct colors in 20 randomly picked balls?

我的解决方案是python的itertools库：

combos=itertools.compositions（urn，20）

，

打印总和（[1代表组合中的x]）

（其中urn是urn中70个球的列表）

我可以将迭代器解压到我的计算机无法处理的

组合（urn，8）

长度

注意：我知道这不会给我答案，这只是我脚本中的一个障碍，换句话说，如果这行得通，我的脚本就会行得通

问题：如果没有世界上最快的超级计算机，我如何才能准确地找到预期的颜色？我的方法在计算上可能吗？

• 制作一个瓮，每种颜色10个
• 决定你想要的试验次数
• 制作一个容器来保存每次试验的结果
• 对于每个试验，从骨灰盒中随机抽取20个项目，制作一组这些项目，将该组项目的长度添加到结果中
• 找出结果的平均值

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这不就是重复的组合吗

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既然有几个人要求看数学解，我就给他们。这是Euler项目中的一个问题，可以用铅笔和纸在合理的时间内完成。答案是

7(1 - (60 choose 20)/(70 choose 20))

获取此写X，颜色的计数作为总和x0+x1+x2+…+x6，其中如果第i个颜色存在，则席是1，如果不存在则为0。p>

E(X) 
= E(X0+X1+...+X6) 
= E(X0) + E(X1) + ... + E(X6)        by linearity of expectation
= 7E(X0)                             by symmetry
= 7 * probability that a particular color is present
= 7 * (1- probability that a particular color is absent)
= 7 * (1 - (# ways to pick 20 avoiding a color)/(# ways to pick 20))
= 7 * (1 - (60 choose 20)/(70 choose 20))

因此，当你被要求寻找某个随机量的平均值时，尝试将该随机量重写为一组简单的变量，如指标（0-1）随机变量，通常会有所帮助

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这并没有说明如何使OP的方法起作用。虽然有一个直接的数学解决方案，但最好知道如何以一种有组织和可行的方式迭代这些案例。如果您下一步需要比计数更复杂的颜色集函数，这可能会有所帮助。达菲莫的回答提出了一些我将更明确的建议：

您可以将从70个调用中提取20个调用的方法分解为按颜色计数索引的类别。例如，索引（5,5,10,0,0,0,0）表示我们绘制了第一种颜色的5种，第二种颜色的5种，第三种颜色的10种，其他颜色都没有

可能的索引集包含在总和为20的非负整数的7元组集合中。其中一些是不可能的，例如（11,9,0,0,0,0,0），问题假设每种颜色只有10个球，但我们可以处理它。非负数加起来等于20的7元组集合的大小为（26选择6）=230230，并且它有一个方法，可以在26个空间中选择6个分隔符作为分隔符或对象。因此，如果有，可以将这些转换为遍历所有索引

你仍然需要通过从70个球中抽出20个球的方法来称量箱子的重量，才能得到那个箱子。（a0，a1，a2，…，a6）的重量是（10选择a0）（10选择a1）…*（10选择a6）。这很好地处理了不可能索引的情况，因为10选择11是0，所以乘积是0

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因此，如果你不知道数学解的线性期望值，你可以迭代230230个例子，计算索引向量的非零坐标数的加权平均值，用小二项的乘积加权。

？如果是这样，我们可以添加

[project euler]

标记。（暴力倾向于不适用于更高的PE问题-你需要一个数学/组合解决方案）。我没有参加tag的唯一原因是因为tag的描述：“不要使用这个tag项目Euler是一组不同难度的数学规划问题。”啊-上次我检查时没有这样做。。。我想你没有使用它是对的。不要解包，迭代。有一个单行数学解决方案，基于将计数重写为和，然后使用期望的线性。你建议进行多少随机试验以获得所需的精度10^-9？我觉得大概有10^18次试验，所以我认为应该使用另一种方法。@DouglasZare我没有看到问题中的精度要求-这有点过头了。@DouglasZare只是出于好奇，你是如何计算达到给定精度所需的试验数的？@rubik:你希望得到1/n的精度，对于一些c。通过简化假设指标变量（对于每种颜色的存在）是独立的，我估计了c的值（大约为1）。独立随机变量之和的方差是方差之和，因此这种独立性假设使得计数方差的计算变得简单，7p（1-p），其中p是.974，即每种颜色被包括在内的概率。标准偏差是7p（1-p）的平方根，0.42，接近1/2或1。通过与尽可能反相关的指标总和进行比较，可以确定标准偏差计算中独立性假设的误差有多重要。这没什么区别。我们假设相关性为0，实际相关性是一个小的负数，尽可能使其为负会产生另一个易于分析的随机变量，其标准偏差为0.43。不，我相信你说的是计算选择方法数量的星条旗法，比如，7类20个无序对象。然而，当你从一个瓮中取出20件每种颜色10件的物品时，这些物品的概率并不相等。一种颜色不能有11种，只有一种方法可以得到前两种颜色中的10种，但是（10选5）*（10选5）方法可以得到第一种颜色的10种，然后是第二种和第三种颜色的5种。我不知道星条旗法是什么。链接给出了我在中的公式